Questão 4 Sem resposta Na indústria de manufatura avançada, 0 cálculo preciso da massa de componentes mecânicos é essencial para o controle de qualida

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Questão 4 Sem resposta Na indústria de manufatura avançada, 0 cálculo preciso da massa de componentes mecânicos é essencial para o controle de qualidade, logística e eficiencia estrutural. Neste cenário, uma indústria está desenvolvendo uma peça cilindrica maciça critica para um sistema de transmissão de energia. A peça possui 2 metros de raio e 3 metros de altura, fabricada com um material homogêneo de densidade constante 5kg/m3 Para facilitar a modelagem computacional da massa dessa peça, os engenheiros decidiram montar a integral tripla em coordenadas cilindricas. Esse método não so garante precisão, mas tambem facilita a integração com softwares de simulação CAD/CAM, essenciais para prototipagem rápida e análise de tensões. Além disso, a escolha das coordenadas cilindricas reflete boas práticas de modelagem matematica para corpos rotacionais, reduzindo erros numéricos e tempo de processamento computacional. Considerando 0 contexto apresentado, assinale qual das alternativas abaixo representa corretamente a configuração da integral tripla que permite calcular a massa dessa peça em coordenadas cilindricas.

Ed · Answer

Vamos analisar passo a passo:

1. A peça é um cilindro maciço com:
- raio $ r = 2 $ metros
- altura $ h = 3 $ metros
- densidade constante $ \rho = 5 \, kg/m^3 $

2. Em coordenadas cilíndricas, os limites são:
- $ r $ varia de 0 a 2
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $
- $ z $ varia de 0 a 3

3. O volume elementar em coordenadas cilíndricas é:
$$
dV = r \, dr \, d\theta \, dz
$$

4. A massa $ M $ é dada por:
$$
M = \rho \times \text{volume} = \int_0^3 \int_0^{2\pi} \int_0^2 \rho \cdot r \, dr \, d\theta \, dz
$$

Substituindo:
$$
M = \int_{z=0}^3 \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^2 5 \cdot r \, dr \, d\theta \, dz
$$

Portanto, a integral tripla correta para calcular a massa da peça em coordenadas cilíndricas é:

$$
\boxed{
\int_0^3 \int_0^{2\pi} \int_0^2 5 \cdot r \, dr \, d\theta \, dz
}
$$

Essa configuração garante precisão e facilita a integração com softwares CAD/CAM.

Economia

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