A massa de um objeto tridimensional pode ser determinada por meio da integral tripla da densidade rho left parenthesis x comma y comma z right parenthesis sobre a região ocupada pelo objeto. Considere um paralelepípedo que ocupa a região definida por 0 less or equal than x less or equal than 2, 0 less or equal than y less or equal than 3 e 0 less or equal than z less or equal than 4, cuja a densidade varia de acordo com a função rho left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals 2 plus x plus y left parenthesis k g divided by m cubed right parenthesis. A integral que calcula a massa desse objeto é dada por Alternativas: a) M equals integral subscript 0 superscript 4 integral subscript 0 superscript 3 integral subscript 0 superscript 2 left parenthesis x plus y right parenthesis d x d y d z b) M equals integral subscript 0 superscript 4 integral subscript 0 superscript 3 integral subscript 0 superscript 2 d x d y d z c) M equals integral subscript 0 superscript 4 integral subscript 0 superscript 3 integral subscript 0 superscript 2 left parenthesis 2 plus x plus y right parenthesis d z d y d x d) M equals integral subscript 0 superscript 4 integral subscript 0 superscript 3 integral subscript 0 superscript 2 left parenthesis 2 plus x plus y

Question

A massa de um objeto tridimensional pode ser determinada por meio da integral tripla da densidade rho left parenthesis x comma y comma z right pare...

Ed · Answer

A massa do objeto é dada pela integral tripla da densidade $\rho(x,y,z) = 2 + x + y$ sobre a região definida por:
$$
0 \leq x \leq 2, \quad 0 \leq y \leq 3, \quad 0 \leq z \leq 4.
$$

Logo, a integral que calcula a massa é:
$$
M = \int_0^4 \int_0^3 \int_0^2 (2 + x + y) \, dx \, dy \, dz.
$$

Analisando as alternativas, a que corresponde a essa integral é a alternativa:

**c) $ M = \int_0^4 \int_0^3 \int_0^2 (2 + x + y) \, dz \, dy \, dx $**

Note que a ordem de integração pode variar, mas o importante é que a função dentro da integral seja $2 + x + y$ e os limites estejam corretos.

Portanto, a alternativa correta é a **c)**.

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