Você forneceu as alternativas incompletas e com notação confusa, mas vou ajudar com o que foi possível entender. Para verificar se um campo vetorial \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}\) é conservativo em \(\mathbb{R}^2\), devemos verificar se \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\). Vamos analisar as alternativas que você forneceu (corrigindo a notação para \(x\) e \(y\)): 1) \( \mathbf{F}(x,y) = 2xy \mathbf{i} + (y x^3 + 1) \mathbf{j} \) - \(P = 2xy\) - \(Q = y x^3 + 1\) Calcule: \(\frac{\partial P}{\partial y} = 2x\) \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2 y\) Como \(2x \neq 3x^2 y\) em geral, não é conservativo. 2) \( \mathbf{F}(x,y) = 2xy^2 \mathbf{i} + (y + 2y z^2) \mathbf{j} \) Aqui aparece \(z\), mas o campo é em \(\mathbb{R}^2\), então parece erro. Ignorando essa alternativa. 3) \( \mathbf{F}(x,y) = e \mathbf{i} + (4x^2 + \cos y) \mathbf{j} \) - \(P = e\) (constante) - \(Q = 4x^2 + \cos y\) Calcule: \(\frac{\partial P}{\partial y} = 0\) \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 8x\) Como \(0 \neq 8x\), não é conservativo. 4) \( \mathbf{F}(x,y) = 2x \mathbf{i} + (y^3 + z) y \mathbf{j} \) Novamente aparece \(z\), campo não definido em \(\mathbb{R}^2\), ignorar. 5) \( \mathbf{F}(x,y) = (4xy + x) \mathbf{i} + (9xy - 3) \mathbf{j} \) - \(P = 4xy + x\) - \(Q = 9xy - 3\) Calcule: \(\frac{\partial P}{\partial y} = 4x\) \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 9y\) Como \(4x \neq 9y\) em geral, não é conservativo. Nenhuma das alternativas apresentadas é conservativa, a menos que haja erro na transcrição. Se precisar, envie a questão completa e correta para análise. Mas, com base no que foi possível analisar, nenhuma alternativa apresenta um campo conservativo.