Vamos resolver passo a passo. 1. Seja a aresta do cubo igual a \( a \). 2. \( AC \) é a diagonal da base do cubo, que é um quadrado de lado \( a \). Então: \[ AC = a \sqrt{2} \] 3. \( AG \) é a diagonal espacial do cubo, que liga um vértice da base ao vértice oposto na face superior. A diagonal espacial do cubo é: \[ AG = a \sqrt{3} \] 4. Os pontos \( A, C, G \) formam um triângulo. A base do triângulo pode ser \( AC = a \sqrt{2} \). 5. A área do triângulo é dada por: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \] 6. A área fornecida é: \[ 2 \sqrt{2} \] 7. Substituindo a base: \[ 2 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times h \] onde \( h \) é a altura do triângulo em relação à base \( AC \). 8. Isolando \( h \): \[ h = \frac{2 \times 2 \sqrt{2}}{a \sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{a \sqrt{2}} = \frac{4}{a} \] 9. Agora, precisamos encontrar \( h \) em função de \( a \) usando as coordenadas dos pontos. Assumindo o cubo com vértices em coordenadas: - \( A = (0,0,0) \) - \( C = (a,a,0) \) - \( G = (0,a,a) \) 10. O vetor \( \overrightarrow{AC} = (a,a,0) \) e o vetor \( \overrightarrow{AG} = (0,a,a) \). 11. A altura \( h \) é a distância do ponto \( G \) à linha \( AC \), que é dada por: \[ h = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{AC}|} \] 12. Calculando o produto vetorial: \[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AG} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = a^2 \mathbf{i} - a^2 \mathbf{j} + a^2 \mathbf{k} \] 13. O módulo do vetor é: \[ |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AG}| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{3 a^4} = a^2 \sqrt{3} \] 14. O módulo de \( \overrightarrow{AC} \) é: \[ |\overrightarrow{AC}| = a \sqrt{2} \] 15. Então: \[ h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{a \sqrt{2}} = a \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = a \sqrt{\frac{3}{2}} \] 16. Igualando com o valor de \( h \) encontrado no passo 8: \[ a \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{4}{a} \] 17. Multiplicando ambos os lados por \( a \): \[ a^2 \sqrt{\frac{3}{2}} = 4 \] 18. Isolando \( a^2 \): \[ a^2 = \frac{4}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = 4 \times \sqrt{\frac{2}{3}} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] 19. Simplificando: \[ a = \sqrt{\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{4} \times \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = 2 \times \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} \] 20. Podemos deixar assim ou racionalizar, mas o importante é o valor de \( a \). Resposta final: \[ \boxed{a = 2 \times \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}} \] Ou, se preferir, aproximadamente: \[ a \approx 2 \times \sqrt{\frac{1.414}{1.732}} = 2 \times \sqrt{0.816} \approx 2 \times 0.903 = 1.806 \] Portanto, a aresta do cubo é aproximadamente 1,806 unidades.