Vamos passo a passo para encontrar a matriz A da transformação linear T: R² → R² que realiza: 1. Reflexão em relação à reta y = x. 2. Contração uniforme de fator 1/√2. 3. Rotação de 45° no sentido horário. --- Passo 1: Matriz da reflexão em relação à reta y = x A reflexão em relação à reta y = x troca as coordenadas x e y. A matriz é: \[ R = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \] --- Passo 2: Matriz da contração uniforme de fator 1/√2 A contração uniforme multiplica o vetor por 1/√2: \[ C = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] --- Passo 3: Matriz da rotação de 45° no sentido horário Rotação no sentido horário de 45° é rotação no sentido anti-horário de -45°. A matriz de rotação é: \[ Rot = \begin{bmatrix} \cos(-45°) & -\sin(-45°) \\ \sin(-45°) & \cos(-45°) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \] --- Passo 4: Matriz da transformação T A transformação T é a composição das três operações na ordem dada: \[ T = Rot \times C \times R \] Calculando: \[ C \times R = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \] Agora: \[ T = Rot \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \] Multiplicando as matrizes: \[ \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \times 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \times 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \times 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \] Multiplicando pelo fator 1/√2: \[ T = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \] --- Resposta final: \[ \boxed{ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} } \] Essa é a matriz associada à transformação linear T descrita.