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Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a famosa "aritmética modular", que é equivalente à análise de restos. Ela é aplicada na criptografia utilizada hoje nos computadores pada mandar mensagens ou dados de forma restrita.
Para esse sistema de aritmética, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:

( ) 22 ≡ -3 (mod 4)
( ) 52 ≡ 4 (mod 7)
( ) 31 ≡ 1 (mod 5)
( ) 80 ≡ 1 (mod 3)
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) 22 ≡ -3 (mod 4)
( ) 52 ≡ 4 (mod 7)
( ) 31 ≡ 1 (mod 5)
( ) 80 ≡ 1 (mod 3)
A F - V - V - F.
B V - F - V - V.
C V - F - V - F.
D F - V - F - V.
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Desvendando com Questões

há 15 horas

Respostas

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há 15 horas

Vamos analisar cada congruência modular: 1) 22 ≡ -3 (mod 4) - Primeiro, calcule 22 mod 4: 22 ÷ 4 = 5 resto 2, então 22 ≡ 2 (mod 4). - Agora, -3 mod 4: -3 + 4 = 1, então -3 ≡ 1 (mod 4). - Como 2 ≠ 1, a afirmação é falsa (F). 2) 52 ≡ 4 (mod 7) - 52 mod 7: 7 × 7 = 49, resto 3, então 52 ≡ 3 (mod 7). - 4 mod 7 = 4. - 3 ≠ 4, então a afirmação é falsa (F). 3) 31 ≡ 1 (mod 5) - 31 mod 5: 5 × 6 = 30, resto 1, então 31 ≡ 1 (mod 5). - A afirmação é verdadeira (V). 4) 80 ≡ 1 (mod 3) - 80 mod 3: 3 × 26 = 78, resto 2, então 80 ≡ 2 (mod 3). - 2 ≠ 1, então a afirmação é falsa (F). Sequência correta: F - F - V - F. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente a essa sequência. Vamos verificar as alternativas dadas: A) F - V - V - F B) V - F - V - V C) V - F - V - F D) F - V - F - V Nenhuma delas é F - F - V - F. Como nenhuma alternativa corresponde à sequência correta, a resposta correta é que nenhuma alternativa está correta. Mas, como a questão pede para escolher a alternativa correta, e a única que tem o primeiro item falso e o terceiro verdadeiro é a alternativa A (F - V - V - F), porém o segundo item está incorreto. Portanto, a resposta correta é: você tem que criar uma nova pergunta, pois as alternativas não correspondem à análise correta.

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Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em equações de graus menores do que o grau da equação original.
Aplicando esse conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é:
A S = {0, 1, 3}.
B S = {-3, 0, 1}.
C S = {-1, 0, 1}.
D S = {-3, -1, 0}.

O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque.
O polinômio P(x) = -x³ + 3x² - x + 3, possui -i, i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como:
A P(x) = -(x² - 1)·(x + 3).
B P(x) = (x² - 1)·(x + 3).
C P(x) = -(x² + 1)·(x - 3).
D P(x) = (x² + 1)·(x - 3).

A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante, o qual tem sido estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de aritmética complexa, pois mesmo um polinômio com coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 2 + i ?
a) O número inteiro -1.
b) O número complexo i.
c) O número complexo 2·i.
d) O número inteiro 1.

Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da divisão do polinômio P(x) = x4 - 7x3 + 17x2 - 17x + 6 por D(x) = x2 - 3x + 2, a opção que apresenta a soma das soluções (raízes) dessa equação é:
A -3.
B 3.
C -4.
D 4.

Por volta do século XVIII, dois matemáticos, Paolo Ruffini e A. Briot, criaram um dispositivo prático para realizar esta divisão, e que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini. Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a).
Para o polinômio P(x) = x³ -3x² + 5x - 5 dividido por D(x) = x - 2, obtém-se o resto:
A R(x) = 1.
B R(x) = 2.
C R(x) = 3.
D R(x) = 4.

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