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Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e produto entre as raízes de uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que relacionava os coeficientes numéricos de uma equação de grau 3 com suas raízes. Baseado nisto, considerando as relações de Girard,
analise as opções a seguir quanto à soma e ao produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0:

I) -2 e 3.

II) 2 e -3.

III) -2 e -3.

IV) 2 e 3.
Assinale a alternativa CORRETA:
I) -2 e 3.
II) 2 e -3.
III) -2 e -3.
IV) 2 e 3.
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção II está correta.
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Avaliação II - Individual - Estruturas Algébricas (MAD17)
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Respostas

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Vamos analisar a equação dada: 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0 Para uma equação cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0, as relações de Girard são: - Soma das raízes: \( r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a} \) - Soma do produto das raízes tomadas duas a duas: \( r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a} \) - Produto das raízes: \( r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a} \) Calculando: - \( a = 5 \), \( b = 10 \), \( c = 20 \), \( d = -15 \) 1) Soma das raízes: \( r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{10}{5} = -2 \) 2) Soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas: \( r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{20}{5} = 4 \) 3) Produto das raízes: \( r_1 r_2 r_3 = -\frac{-15}{5} = 3 \) Agora, as opções dadas são pares de números, provavelmente correspondendo à soma e ao produto das raízes. Observando os valores calculados: soma = -2 e produto = 3. Portanto, a opção correta é: I) -2 e 3. Resposta correta: A) Somente a opção I está correta.

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Considere que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k.
Para que valores de k temos p(2) = 4?
A k = 6.
B k = 5.
C k = 4.
D k = 3.

O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica possa ser escrita em função de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 2, 1, e -3 e o coeficiente dominante é igual a 1,
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:

( ) x³ + 4x² + x - 6 = 0
( ) x³ - 7x + 6 = 0
( ) x³ - 2x² - 5x + 6 = 0
( ) x³ - 4x² + x + 6 = 0
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) x³ + 4x² + x - 6 = 0
( ) x³ - 7x + 6 = 0
( ) x³ - 2x² - 5x + 6 = 0
( ) x³ - 4x² + x + 6 = 0
A F - F - V - F.
B F - F - F - V.
C F - V - F - F.
D V - F - F - F.

Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em equações de graus menores do que o grau da equação original.
Aplicando esse conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é:
A S = {0, 1, 3}.
B S = {-3, 0, 1}.
C S = {-1, 0, 1}.
D S = {-3, -1, 0}.

O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque.
O polinômio P(x) = -x³ + 3x² - x + 3, possui -i, i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como:
A P(x) = -(x² - 1)·(x + 3).
B P(x) = (x² - 1)·(x + 3).
C P(x) = -(x² + 1)·(x - 3).
D P(x) = (x² + 1)·(x - 3).

A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante, o qual tem sido estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de aritmética complexa, pois mesmo um polinômio com coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 2 + i ?
a) O número inteiro -1.
b) O número complexo i.
c) O número complexo 2·i.
d) O número inteiro 1.

Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da divisão do polinômio P(x) = x4 - 7x3 + 17x2 - 17x + 6 por D(x) = x2 - 3x + 2, a opção que apresenta a soma das soluções (raízes) dessa equação é:
A -3.
B 3.
C -4.
D 4.

Por volta do século XVIII, dois matemáticos, Paolo Ruffini e A. Briot, criaram um dispositivo prático para realizar esta divisão, e que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini. Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a).
Para o polinômio P(x) = x³ -3x² + 5x - 5 dividido por D(x) = x - 2, obtém-se o resto:
A R(x) = 1.
B R(x) = 2.
C R(x) = 3.
D R(x) = 4.

Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a famosa "aritmética modular", que é equivalente à análise de restos. Ela é aplicada na criptografia utilizada hoje nos computadores pada mandar mensagens ou dados de forma restrita.
Para esse sistema de aritmética, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:

( ) 22 ≡ -3 (mod 4)
( ) 52 ≡ 4 (mod 7)
( ) 31 ≡ 1 (mod 5)
( ) 80 ≡ 1 (mod 3)
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) 22 ≡ -3 (mod 4)
( ) 52 ≡ 4 (mod 7)
( ) 31 ≡ 1 (mod 5)
( ) 80 ≡ 1 (mod 3)
A F - V - V - F.
B V - F - V - V.
C V - F - V - F.
D F - V - F - V.

Um grupo é uma estrutura formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definida uma aplicação binária, que pode ser classificado de algumas maneiras.
A respeito das propriedades dessa estrutura, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:

( ) Fechamento.
( ) Comutatividade.
( ) Existência do elemento neutro.
( ) Existência de Inversos.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) Fechamento.
( ) Comutatividade.
( ) Existência do elemento neutro.
( ) Existência de Inversos.
A F - F - V - V.
B V - F - V - F.
C F - V - F - F.
D V - F - V - V.

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