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A respeito das propriedades matemáticas e geométricas estabelecidas pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) na regressão linear simples com intercepto, assinale a alternativa CORRETA:
A) Os resíduos observados ei = yi − ŷi possuem soma estritamente positiva se a inclinação estimada β̂1 for positiva.
B) A reta de regressão estimada por MQO não passa necessariamente pelo ponto das médias amostrais (x̄, ȳ), a menos que R2 = 1, 0.
C) O somatório do produto de cada valor predito pelo respectivo resíduo é estritamente nulo, ou seja, ∑ŷiei = 0.
D) O método do MQO minimiza a soma das distâncias perpendiculares ortogonais de cada ponto até a reta ajustada.
E) Multiplicar todos os valores da variável X por uma constante c > 0 altera o valor do coeficiente de determinação R2.

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Vamos analisar cada alternativa com base nas propriedades do método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) na regressão linear simples com intercepto: A) "Os resíduos observados ei = yi − ŷi possuem soma estritamente positiva se a inclinação estimada β̂1 for positiva." - Incorreto. A soma dos resíduos é sempre zero, independentemente do valor da inclinação. B) "A reta de regressão estimada por MQO não passa necessariamente pelo ponto das médias amostrais (x̄, ȳ), a menos que R2 = 1, 0." - Incorreto. A reta estimada pelo MQO sempre passa pelo ponto (x̄, ȳ), independentemente do R². C) "O somatório do produto de cada valor predito pelo respectivo resíduo é estritamente nulo, ou seja, ∑ ŷi ei = 0." - Correto. Uma propriedade do MQO é que a soma dos produtos dos valores preditos pelos resíduos é zero. D) "O método do MQO minimiza a soma das distâncias perpendiculares ortogonais de cada ponto até a reta ajustada." - Incorreto. O MQO minimiza a soma dos quadrados das distâncias verticais (diferença em y), não as distâncias perpendiculares. E) "Multiplicar todos os valores da variável X por uma constante c > 0 altera o valor do coeficiente de determinação R2." - Incorreto. Multiplicar X por uma constante positiva não altera o R², pois a relação entre X e Y permanece a mesma. Portanto, a alternativa correta é: C) O somatório do produto de cada valor predito pelo respectivo resíduo é estritamente nulo, ou seja, ∑ ŷi ei = 0.

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Um engenheiro de produção analisou a relação entre o tempo de uso de um maquinário industrial (X, em centenas de horas) e o custo mensal de manutenção (Y , em milhares de reais). A partir de uma amostra de n = 10 máquinas, obtiveram-se os seguintes somatórios: ∑xi = 40, ∑yi = 100, ∑x2i = 200, ∑y2i = 1100, ∑xiyi = 460.
Com base nos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), a equação da reta ajustada (ŷ = β̂0+ β̂1x) e o custo estimado de manutenção para uma máquina com X = 8 (800 horas de uso) são, respectivamente:
A) ŷ = 1, 5 + 4, 0x e ŷ(8) = 33, 5 mil reais
B) ŷ = 4, 0 + 1, 5x e ŷ(8) = 16, 0 mil reais
C) ŷ = 10, 0 + 1, 5x e ŷ(8) = 22, 0 mil reais
D) ŷ = 1, 5 + 10, 0x e ŷ(8) = 81, 5 mil reais
E) ŷ = 2, 5 + 2, 0x e ŷ(8) = 18, 5 mil reais

Em um ajuste por Mínimos Quadrados Ordinários para n = 25 observações, verificou-se que a Soma dos Quadrados Totais da variável dependente foi SQT = 400, 0 e a Soma dos Quadrados dos Erros foi SQE = 100, 0.
O valor da Soma dos Quadrados da Regressão (SQR) e a proporção de variabilidade explicada pelo modelo (R2) são:
A) SQR = 300, 0 e R2 = 0, 75
B) SQR = 100, 0 e R2 = 0, 25
C) SQR = 500, 0 e R2 = 0, 80
D) SQR = 300, 0 e R2 = 0, 25
E) SQR = 200, 0 e R2 = 0, 50

Em um modelo de regressão linear simples ajustado com n = 22 observações, encontrou-se uma Soma dos Quadrados dos Erros SQE = 80, 0 e uma Soma dos Quadrados de X igual a Sxx = 400, 0. Sabendo que o coeficiente angular estimado foi β̂1 = −0, 40,
a estatística de teste t para testar a utilidade do modelo (H0 : β1 = 0 vs. Ha : β1 ̸= 0) e os graus de liberdade residuais correspondentes são:
A) t = −4, 00 e gl = 20
B) t = −2, 00 e gl = 21
C) t = −4, 00 e gl = 21
D) t = +2, 00 e gl = 20
E) t = −0, 10 e gl = 22

Considere a construção de um Intervalo de Confiança (IC) para a resposta média E(Y |X∗) e de um Intervalo de Previsão (IP ) para uma observação futura individual Yprev, ambos calculados sob o mesmo valor preditor x∗.
A razão teórica pela qual o IP é rigorosamente mais largo que o IC reside no fato de que:
A) O IP utiliza a distribuição F de Snedecor, enquanto o IC utiliza a distribuição t de Student.
B) O IP contabiliza, além da variabilidade amostral da estimativa da reta, a variabilidade do erro aleatório individual (σ2) da nova observação.
C) O IC perde um grau de liberdade adicional no denominador da margem de erro.
D) O IP não é afetado pela distância do ponto x∗ em relação à média amostral x̄.
E) O IC é aplicável apenas a amostras com n > 100, enquanto o IP exige n < 30.

A tabela de saída de um software estatístico para um modelo de regressão simples (n = 30) reportou para o parâmetro β1 o estimador β̂1 = 0, 85, erro padrão sβ̂1 = 0, 40, t = 2, 125 e p-valor = 0, 042.
Fixando o nível de significância do teste em α = 0, 01, a conclusão correta é:
A) Rejeita-se H0 : β1 = 0 a 1%, concluindo que o modelo é estatisticamente útil.
B) Não se rejeita H0 : β1 = 0 a 1%, pois o p-valor = 0, 042 é superior a α = 0, 01.
C) Rejeita-se H0 : β1 = 0 a 1%, pois a estatística t = 2, 125 é maior que 1, 0.
D) Provou-se com 99% de certeza que a inclinação real da população é de 0, 85.
E) O teste é inválido porque o erro padrão é maior que 0, 10.

Um pesquisador deseja ajustar o modelo não linear Y = αXβ · ϵ, no qual os erros originais ϵ são multiplicativos e seguem uma distribuição lognormal com E(ln ϵ) = 0. Após aplicar a transformação logarítmica y′ = lnY e x′ = lnX, obtiveram-se os coeficientes lineares estimados β̂0 = 1, 6094 e β̂1 = 0, 50.
Os parâmetros estimados α̂ e β̂ na escala original são:
A) α̂ = 1, 6094 e β̂ = 0, 50
B) α̂ = 5, 00 e β̂ = 1, 6094
C) α̂ = 5, 00 e β̂ = 0, 50
D) α̂ = 0, 50 e β̂ = 5, 00
E) α̂ = e0,50 ≈ 1, 65 e β̂ = e1,6094 = 5, 00

Em uma análise residual de regressão linear simples, identificou-se a presença de heterocedasticidade severa, com o desvio padrão dos erros crescendo proporcionalmente ao valor da variável independente, de modo que σi = c · xi.
Para obter estimadores lineares não viesados de variância mínima via Mínimos Quadrados Ponderados (MQP), o peso wi associado à observação i deve ser fixado em:
A) wi = xi
B) wi = 1/√xi
C) wi = 1/xi
D) wi = 1/x2i
E) wi = x2i

Associe o padrão visual observado no gráfico de diagnóstico de resíduos ao respectivo problema de especificação do modelo:
A combinação CORRETA de diagnósticos para os pontos 1, 2 e 3 é:
1. Padrão em formato de "funil"(megafone) no gráfico de Resíduos vs. Valores Ajustados (ŷ).
2. Alinhamento dos resíduos em formato de parábola (curva em "U") no gráfico de Resíduos vs. X.
3. Desvio sistemático em formato de "S"em relação à reta de 45◦ no gráfico Q-Q Plot de probabilidade.
A) 1. Heterocedasticidade; 2. Falta de termo não linear/quadrático; 3. Não-normalidade dos erros.
B) 1. Autocorrelação; 2. Heterocedasticidade; 3. Multicolinearidade.
C) 1. Não-normalidade; 2. Multicolinearidade; 3. Heterocedasticidade.
D) 1. Falta de termo quadrático; 2. Heterocedasticidade; 3. Erro de medição.
E) 1. Heterocedasticidade; 2. Autocorrelação temporal; 3. Excesso de alavancagem.

Um modelo polinomial quadrático (k = 2) foi ajustado a um conjunto de dados com n = 15 observações, resultando em SQT = 200, 0 e SQE = 36, 0.
O valor estimado da variância residual (s2) e o coeficiente de determinação ajustado (R2aj) são:
A) s2 = 3, 00 e R2aj = 0, 79
B) s2 = 2, 40 e R2aj = 0, 82
C) s2 = 3, 00 e R2aj = 0, 82
D) s2 = 2, 57 e R2aj = 0, 75
E) s2 = 3, 27 e R2aj = 0, 80

Em um estudo de risco de crédito, ajustou-se um modelo de regressão logística para prever a probabilidade de inadimplência (Y = 1) em função da pontuação do cliente (X), obtendo-se a equação logit: ln(Odds) = −2, 4 + 0, 8X.
Para um cliente com pontuação X = 3, a probabilidade estimada de inadimplência p(3) e a Razão de Chances (Odds Ratio - OR) para cada aumento unitário em X são, respectivamente:
A) p(3) = 0, 50 e OR = e0,8 ≈ 2, 23
B) p(3) = 0, 25 e OR = 0, 80
C) p(3) = 0, 50 e OR = e−2,4 ≈ 0, 09
D) p(3) = 0, 75 e OR = e0,8 ≈ 2, 23
E) p(3) = 0, 00 e OR = 1, 00

Na aplicação da técnica de regressão não paramétrica localmente ponderada (LOESS), a escolha do parâmetro de suavização (largura de banda \(h\) ou span \(f\)) é decisiva para a qualidade do ajuste.
Reduzir excessivamente o valor de \(f\) (utilizando uma fração muito pequena de pontos vizinhos) provoca:
A) Aumento do viés e redução drástica da variância, gerando uma curva praticamente reta (underfitting).
B) Redução do viés e aumento da variância, tornando a curva altamente oscilatória e sensível a ruídos locais (overfitting).
C) A transformação do modelo em uma regressão logística paramétrica global.
D) A eliminação completa do erro residual para todas as observações futuras fora da amostra.
E) A obrigatoriedade do uso de erros multiplicativos lognormais.

Para uma amostra original de dados observados contendo \(n = 4\) elementos distintos \(A = {10, 20, 30, 40}\),
o número total de amostras Bootstrap distintas (considerando combinações com reposição onde a frequência dos elementos importa, mas não a ordem) é igual a:
A) \(4\)
B) \(16\)
C) \(24\)
D) \(35\)
E) \(256\)

Um modelo de regressão múltipla foi estimado como ŷ = 10 + 2, 0x1 + 1, 5x2 + 0, 5(x1x2).
A alteração média esperada no valor da variável resposta Y provocada pelo aumento de 1 unidade no preditor X1, quando X2 = 4, é igual a:
A) 2, 0 unidades.
B) 3, 5 unidades.
C) 4, 0 unidades.
D) 4, 5 unidades.
E) 14, 0 unidades.

Ajustou-se um modelo de regressão linear múltipla com k = 3 variáveis explicativas para uma amostra de n = 24 observações. A análise de variância reportou SQR = 180, 0 e SQE = 100, 0.
A estatística de teste F para testar a significância global do modelo (H0 : β1 = β2 = β3 = 0) é:
A) F = 1, 80
B) F = 6, 00
C) F = 12, 00
D) F = 36, 00
E) F = 8, 57

Em um modelo de regressão múltipla, regrediu-se o preditor X3 contra os demais regressores do modelo, obtendo-se um coeficiente de determinação R23 = 0, 80.
O Fator de Inflação da Variância (VIF3) para esse preditor e a sua interpretação sobre a variância do coeficiente estimado são:
A) VIF3 = 1, 25; indica que a variância do coeficiente foi reduzida em 25%.
B) VIF3 = 5, 00; indica que a variância do coeficiente estimado foi inflacionada por um fator de 5 devido à colinearidade.
C) VIF3 = 0, 20; indica ausência completa de correlação entre os preditores.
D) VIF3 = 10, 00; indica colinearidade estritamente perfeita.
E) VIF3 = 4, 00; indica que a variável deve ser eliminada imediatamente sem análise prévia.

Deseja-se selecionar o melhor subconjunto de regressores entre vários modelos candidatos. Um modelo com k = 4 preditores (ou seja, p = k + 1 = 5 parâmetros) foi avaliado.
De acordo com o critério de Mallows, esse modelo apresentará um ajuste parsimonioso e praticamente isento de viés de subespecificação se o seu indicador Cp for:
A) Muito superior a p (Cp ≥ 100).
B) Próximo ou igual ao número de parâmetros do modelo (Cp ≈ 5, 0).
C) Estritamente igual a 0, 0.
D) Menor que o valor de R2 simples do modelo inicial.
E) Negativo.

Um analista de dados ajustou um modelo de regressão múltipla por MQO com k = 4 preditores contínuos. A saída do software apresentou R2 = 0, 91 e teste F global altamente significativo (p < 0, 001). Contudo, nenhum dos 4 testes t individuais foi significativo a 5%. Além disso, o gráfico de resíduos exibiu um nítido formato de funil com a variância crescendo proporcionalmente a X21.
Qual é a sequência diagnóstica correta e a combinação apropriada de ações remediativas para este modelo?
A) Diagnóstico: Apenas não-normalidade. Ação: Aplicar transformação de Box-Cox na variável Y e manter todos os preditores.
B) Diagnóstico: Multicolinearidade severa e heterocedasticidade. Ação: Aplicar Mínimos Quadrados Ponderados com wi = 1/x21i e utilizar Eliminação Retroativa (Backward) ou Regressão de Cumeeira (Ridge) para lidar com a colinearidade.
C) Diagnóstico: Ausência de erro aleatório. Ação: Aumentar o grau do polinômio para k = 10 para forçar os testes t a ficarem significativos.
D) Diagnóstico: Autocorrelação de primeira ordem. Ação: Excluir a variável resposta Y da análise.
E) Diagnóstico: O modelo é perfeito e não requer ajustes, pois o R2 de 0, 91 anula os demais problemas.

Resolução Matemática:
1. Quadrado Médio da Regressão: QMR = SQR / k = 180,0 / 3 = 60,0.
2. Graus de liberdade residuais: glres = n− (k + 1) = 24− (3 + 1) = 20.
3. Quadrado Médio do Erro: QME = SQE / glres = 100,0 / 20 = 5,0.
4. Estatística F Global: F = QMR / QME = 60,0 / 5,0 = 12,00.
QUESTÃO 15: Qual é a alternativa correta referente ao cálculo da estatística F global?
A: Dividiu SQR/SQE = 180/100 = 1,80 sem calcular as médias dos quadrados.
B: Dividiu SQR pelos glres (180/20 = 9).
C: Correto cálculo da estatística F global como 12,00.
D: Elevou a estatística ao quadrado indevidamente.
E: Dividiu SQT/SQE.
A
B
C
D
E

Resolução Matemática:
1. Fator de Inflação da Variância: VIFj = 1 / (1−R2j).
2. Substituindo R23 = 0,80: VIF3 = 1 / (1−0,80) = 1 / 0,20 = 5,00.
3. Interpretação: A variância do estimador do coeficiente β̂3 foi inflacionada por um fator de 5 devido à colinearidade com os demais regressores.
QUESTÃO 16: Qual é o valor correto do Fator de Inflação da Variância (VIF) para R23 = 0,80 e sua interpretação?
A: Calculou 1/0,80 = 1,25.
B: Valor correto do VIF3 é 5,00, indicando inflação da variância por colinearidade.
C: Apresenta a tolerância (1−R23 = 0,20), que é o inverso do VIF.
D: Valor de VIF correspondente a R2 = 0,90.
E: Apresenta a regra de corte teórica sem realizar o cálculo.
A
B
C
D
E