Simulado de Regressão Linear

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SIMULADO GERAL FINAL
INTEGRADOR[cite: 3]
PES310 - Modelagem e Inferência Estatística[cite: 3]
Material Otimizado para Impressão e Exportação para PDF[cite: 3]
PARTE I: CADERNO DE QUESTÕES
MÓDULO 1: Fundamentos da Regressão Linear Simples e MQO (Se-
manas 1 e 2)
QUESTÃO 1
Um engenheiro de produção analisou a relação entre o tempo de uso de um maquinário industrial
(X, em centenas de horas) e o custo mensal de manutenção (Y , em milhares de reais).[cite: 3]
A partir de uma amostra de n = 10 máquinas, obtiveram-se os seguintes somatórios:[cite: 3]∑︂
xi = 40 |
∑︂
yi = 100 |
∑︂
x2
i = 200 |
∑︂
y2i = 1100 |
∑︂
xiyi = 460
[cite: 3] Com base nos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), a equação da
reta ajustada (ŷ = β̂0+ β̂1x) e o custo estimado de manutenção para uma máquina com X = 8
(800 horas de uso) são, respectivamente:[cite: 3]
A) ŷ = 1, 5 + 4, 0x e ŷ(8) = 33, 5 mil reais[cite: 3]
B) ŷ = 4, 0 + 1, 5x e ŷ(8) = 16, 0 mil reais[cite: 3]
C) ŷ = 10, 0 + 1, 5x e ŷ(8) = 22, 0 mil reais[cite: 3]
D) ŷ = 1, 5 + 10, 0x e ŷ(8) = 81, 5 mil reais[cite: 3]
E) ŷ = 2, 5 + 2, 0x e ŷ(8) = 18, 5 mil reais[cite: 3]
QUESTÃO 2
Em um ajuste por Mínimos Quadrados Ordinários para n = 25 observações, verificou-se que a
Soma dos Quadrados Totais da variável dependente foi SQT = 400, 0 e a Soma dos Quadrados
dos Erros foi SQE = 100, 0.[cite: 3] O valor da Soma dos Quadrados da Regressão (SQR) e a
proporção de variabilidade explicada pelo modelo (R2) são:[cite: 3]
A) SQR = 300, 0 e R2 = 0, 75[cite: 3]
B) SQR = 100, 0 e R2 = 0, 25[cite: 3]
C) SQR = 500, 0 e R2 = 0, 80[cite: 3]
D) SQR = 300, 0 e R2 = 0, 25[cite: 3]
E) SQR = 200, 0 e R2 = 0, 50[cite: 3]
QUESTÃO 3
A respeito das propriedades matemáticas e geométricas estabelecidas pelo método dos Mínimos
Quadrados Ordinários (MQO) na regressão linear simples com intercepto, assinale a alternativa
CORRETA:[cite: 3]
1
A) Os resíduos observados ei = yi − ŷi possuem soma estritamente positiva se a inclinação
estimada β̂1 for positiva.[cite: 3]
B) A reta de regressão estimada por MQO não passa necessariamente pelo ponto das médias
amostrais (x̄, ȳ), a menos que R2 = 1, 0.[cite: 3]
C) O somatório do produto de cada valor predito pelo respectivo resíduo é estritamente nulo,
ou seja,
∑︁
ŷiei = 0.[cite: 3]
D) O método do MQO minimiza a soma das distâncias perpendiculares ortogonais de cada
ponto até a reta ajustada.[cite: 3]
E) Multiplicar todos os valores da variável X por uma constante c > 0 altera o valor do
coeficiente de determinação R2.[cite: 3]
MÓDULO 2: Inferência Estatística na Regressão Linear Simples (Se-
mana 3)
QUESTÃO 4
Em um modelo de regressão linear simples ajustado com n = 22 observações, encontrou-se
uma Soma dos Quadrados dos Erros SQE = 80, 0 e uma Soma dos Quadrados de X igual a
Sxx = 400, 0.[cite: 3] Sabendo que o coeficiente angular estimado foi β̂1 = −0, 40, a estatística
de teste t para testar a utilidade do modelo (H0 : β1 = 0 vs. Ha : β1 ̸= 0) e os graus de
liberdade residuais correspondentes são:[cite: 3]
A) t = −4, 00 e gl = 20[cite: 3]
B) t = −2, 00 e gl = 21[cite: 3]
C) t = −4, 00 e gl = 21[cite: 3]
D) t = +2, 00 e gl = 20[cite: 3]
E) t = −0, 10 e gl = 22[cite: 3]
QUESTÃO 5
Considere a construção de um Intervalo de Confiança (IC) para a resposta média E(Y |X∗) e de
um Intervalo de Previsão (IP ) para uma observação futura individual Yprev, ambos calculados
sob o mesmo valor preditor x∗.[cite: 3] A razão teórica pela qual o IP é rigorosamente mais
largo que o IC reside no fato de que:[cite: 3]
A) O IP utiliza a distribuição F de Snedecor, enquanto o IC utiliza a distribuição t de
Student.[cite: 3]
B) O IP contabiliza, além da variabilidade amostral da estimativa da reta, a variabilidade
do erro aleatório individual (σ2) da nova observação.[cite: 3]
C) O IC perde um grau de liberdade adicional no denominador da margem de erro.[cite: 3]
D) O IP não é afetado pela distância do ponto x∗ em relação à média amostral x̄.[cite: 3]
E) O IC é aplicável apenas a amostras com n > 100, enquanto o IP exige n3]
B) p(3) = 0, 25 e OR = 0, 80[cite: 3]
C) p(3) = 0, 50 e OR = e−2,4 ≈ 0, 09[cite: 3]
D) p(3) = 0, 75 e OR = e0,8 ≈ 2, 23[cite: 3]
E) p(3) = 0, 00 e OR = 1, 00[cite: 3]
4
QUESTÃO 12
Na aplicação da técnica de regressão não paramétrica localmente ponderada (LOESS), a escolha
do parâmetro de suavização (largura de banda h ou span f) é decisiva para a qualidade do
ajuste.[cite: 3] Reduzir excessivamente o valor de f (utilizando uma fração muito pequena de
pontos vizinhos) provoca:[cite: 3]
A) Aumento do viés e redução drástica da variância, gerando uma curva praticamente reta
(underfitting).[cite: 3]
B) Redução do viés e aumento da variância, tornando a curva altamente oscilatória e sensível
a ruídos locais (overfitting).[cite: 3]
C) A transformação do modelo em uma regressão logística paramétrica global.[cite: 3]
D) A eliminação completa do erro residual para todas as observações futuras fora da amos-
tra.[cite: 3]
E) A obrigatoriedade do uso de erros multiplicativos lognormais.[cite: 3]
QUESTÃO 13
Para uma amostra original de dados observados contendo n = 4 elementos distintos A =
{10, 20, 30, 40}, o número total de amostras Bootstrap distintas (considerando combinações
com reposição onde a frequência dos elementos importa, mas não a ordem) é igual a:[cite: 3]
A) 4[cite: 3]
B) 16[cite: 3]
C) 24[cite: 3]
D) 35[cite: 3]
E) 256[cite: 3]
MÓDULO 5: Regressão Múltipla, Multicolinearidade e Seleção (Se-
mana 7)
QUESTÃO 14
Um modelo de regressão múltipla foi estimado como ŷ = 10 + 2, 0x1 + 1, 5x2 + 0, 5(x1x2).[cite:
3] A alteração média esperada no valor da variável resposta Y provocada pelo aumento de 1
unidade no preditor X1, quando X2 = 4, é igual a:[cite: 3]
A) 2, 0 unidades.[cite: 3]
B) 3, 5 unidades.[cite: 3]
C) 4, 0 unidades.[cite: 3]
D) 4, 5 unidades.[cite: 3]
E) 14, 0 unidades.[cite: 3]
QUESTÃO 15
Ajustou-se um modelo de regressão linear múltipla com k = 3 variáveis explicativas para uma
amostra de n = 24 observações.[cite: 3] A análise de variância reportou SQR = 180, 0 e
SQE = 100, 0.[cite: 3] A estatística de teste F para testar a significância global do modelo
(H0 : β1 = β2 = β3 = 0) é:[cite: 3]
5
A) F = 1, 80[cite: 3]
B) F = 6, 00[cite: 3]
C) F = 12, 00[cite: 3]
D) F = 36, 00[cite: 3]
E) F = 8, 57[cite: 3]
QUESTÃO 16
Em um modelo de regressão múltipla, regrediu-se o preditor X3 contra os demais regressores
do modelo, obtendo-se um coeficiente de determinação R2
3 = 0, 80.[cite: 3] O Fator de Inflação
da Variância (V IF3) para esse preditor e a sua interpretação sobre a variância do coeficiente
estimado são:[cite: 3]
A) V IF3 = 1, 25; indica que a variância do coeficiente foi reduzida em 25%.[cite: 3]
B) V IF3 = 5, 00; indica que a variância do coeficiente estimado foi inflacionada por um fator
de 5 devido à colinearidade.[cite: 3]
C) V IF3 = 0, 20; indica ausência completa de correlação entre os preditores.[cite: 3]
D) V IF3 = 10, 00; indica colinearidade estritamente perfeita.[cite: 3]
E) V IF3 = 4, 00; indica que a variável deve ser eliminada imediatamente sem análise pré-
via.[cite: 3]
QUESTÃO 17
Deseja-se selecionar o melhor subconjunto de regressores entre vários modelos candidatos.[cite:
3] Um modelo com k = 4 preditores (ou seja, p = k + 1 = 5 parâmetros) foi avaliado.[cite:
3] De acordo com o critério de Mallows, esse modelo apresentará um ajuste parsimonioso e
praticamente isento de viés de subespecificação se o seu indicador Cp for:[cite: 3]
A) Muito superior a p (Cp ≥ 100).[cite: 3]
B) Próximo ou igual ao número de parâmetros do modelo (Cp ≈ 5, 0).[cite: 3]
C) Estritamente igual a 0, 0.[cite: 3]
D) Menor que o valor de R2 simples do modelo inicial.[cite: 3]
E) Negativo.[cite: 3]
MÓDULO 6: Questão Integradora de Diagnóstico Completo
QUESTÃO 18
Um analista de dados ajustou um modelo de regressão múltipla por MQO com k = 4 predi-
tores contínuos.[cite: 3] A saída do software apresentou R2 = 0, 91 e teste F global altamente
significativo (pcom intercepto é sempre igual a zero
(
∑︁
ei = 0).[cite: 3]
– B: A reta sempre passa pelo ponto amostral médio (x̄, ȳ) porque β̂0 = ȳ − β̂1x̄.[cite:
3]
– D: O MQO minimiza distâncias verticais no eixo Y , não distâncias ortogonais per-
pendiculares.[cite: 3]
– E: Multiplicar X por constante positiva escala a inclinação β̂1, mas preserva R2.[cite:
3]
QUESTÃO 4: Alternativa A[cite: 3]
• Resolução Matemática:[cite: 3]
1. Variância residual: s2 = QME = SQE
n−2
= 80,0
22−2
= 80,0
20
= 4, 0 =⇒ s =
√
4, 0 =
2, 0.[cite: 3]
2. Erro padrão da inclinação: sβ̂1
= s√
Sxx
= 2,0√
400,0
= 2,0
20,0
= 0, 10.[cite: 3]
3. Estatística t: t = β̂1−0
sβ̂1
= −0,40
0,10
= −4, 00.[cite: 3]
4. Graus de liberdade residuais: gl = n− 2 = 22− 2 = 20.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– B: Utilizou gl = 21 (n− 1) incorretamente.[cite: 3]
– C: Obteve t = −4, 00 correto, mas errou os graus de liberdade (gl = 21).[cite: 3]
– D: Omitiu o sinal negativo do coeficiente.[cite: 3]
– E: Inverteu o cálculo do erro padrão.[cite: 3]
9
QUESTÃO 5: Alternativa B[cite: 3]
• Fundamentação Teórica: O erro padrão para a resposta média é sŷ∗ = s
√︂
1
n
+ (x∗−x̄)2
Sxx
.[cite:
3] Para uma observação individual futura, a variância preditiva soma a incerteza do erro
aleatório σ2 dessa nova observação, resultando em sprev = s
√︂
1 + 1
n
+ (x∗−x̄)2
Sxx
.[cite: 3] O
termo +1 sob o radical torna o IP mais largo.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: Ambos usam a distribuição t de Student com n− 2 gl.[cite: 3]
– C: Ambos possuem os mesmos graus de liberdade.[cite: 3]
– D: Quanto mais distante x∗ estiver de x̄, maior o termo (x∗ − x̄)2, alargando ambos
os intervalos.[cite: 3]
– E: Ambas as fórmulas aplicam-se a amostras pequenas ou grandes sem restrição.[cite:
3]
QUESTÃO 6: Alternativa B[cite: 3]
• Fundamentação Teórica: A regra de tomada de decisão via nível descritivo é: se p-valor ≤
α, rejeita-se H0; se p-valor > α, não se rejeita H0.[cite: 3] Como p-valor = 0, 042 é maior
que α = 0, 01, a decisão estatística a 1% de significância é não rejeitar H0.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: O resultado seria significativo a 5% (α = 0, 05), mas não a 1% (α = 0, 01).[cite:
3]
– C: A comparação do valor t deve ser feita contra o valor crítico de tabela t0,005;28 ≈
2, 763, e não contra 1, 0.[cite: 3]
– D: Testes de hipóteses não "provam"valores numéricos exatos para parâmetros po-
pulacionais.[cite: 3]
– E: O valor do erro padrão não invalida o teste.[cite: 3]
QUESTÃO 7: Alternativa C[cite: 3]
• Resolução Matemática:[cite: 3]
1. Equação linearizada do modelo de potência: lnY = lnα + β lnX + ln ϵ =⇒ y′ =
β0 + β1x
′ + ϵ′.[cite: 3]
2. Estimador do intercepto: β̂0 = ln α̂ = 1, 6094.[cite: 3]
3. Retornando à escala original de α: α̂ = eβ̂0 = e1,6094 = 5, 00.[cite: 3]
4. O coeficiente angular na escala transformada é diretamente o expoente original:
β̂ = β̂1 = 0, 50.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: Não aplicou a exponencial eβ̂0 para obter α.[cite: 3]
– B e D: Inverteram as atribuições dos parâmetros originais α e β.[cite: 3]
– E: Aplicou a exponencial sobre o coeficiente de inclinação indevidamente.[cite: 3]
QUESTÃO 8: Alternativa D[cite: 3]
10
• Fundamentação Teórica: No MQP, os pesos são inversamente proporcionais às variâncias
residuais de cada observação: wi =
1
σ2
i
.[cite: 3] Se o desvio padrão cresce proporcional-
mente a xi (σi = c · xi), a variância é σ2
i = c2x2
i .[cite: 3] Desprezando a constante c2, o
peso ótimo é wi =
1
x2
i
.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A, B e E: Atribuiriam pesos maiores para observações com maiores variâncias, ins-
tabilizando os estimadores.[cite: 3]
– C: Seria o peso correto se a variância (não o desvio padrão) fosse proporcional a xi
(σ2
i = c · xi).[cite: 3]
QUESTÃO 9: Alternativa A[cite: 3]
• Fundamentação Teórica:[cite: 3]
1. Formato em funil no gráfico e × ŷ indica variância não constante (Heterocedastici-
dade).[cite: 3]
2. Padrão em parábola ou curva em "U"indica falta de ajuste funcional, exigindo um
termo quadrático/polinomial.[cite: 3]
3. Curvatura em "S"no Q-Q Plot indica que os resíduos observados diferem dos quantis
da distribuição normal (Não-normalidade).[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– B, C, D e E: Confundem os diagnósticos gráficos padrão da disciplina.[cite: 3]
QUESTÃO 10: Alternativa A[cite: 3]
• Resolução Matemática:[cite: 3]
1. Em modelos polinomiais de grau k = 2, estimam-se k+1 = 3 parâmetros (β0, β1, β2).[cite:
3]
2. Graus de liberdade residuais: glres = n− (k + 1) = 15− 3 = 12.[cite: 3]
3. Variância residual: s2 = QME = SQE
glres
= 36,0
12
= 3, 00.[cite: 3]
4. Graus de liberdade totais: gltot = n− 1 = 15− 1 = 14.[cite: 3]
5. R2
aj = 1− SQE/glres
SQT/gltot
= 1− 36,0/12
200,0/14
= 1− 3,00
14,2857
= 1− 0, 2100 = 0, 7900 (79%).[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– B: Apresenta o R2 simples não ajustado (1 − 36/200 = 0, 82) e dividiu SQE por
n = 15.[cite: 3]
– C: Obteve s2 = 3, 00 correto, mas informou o R2 não ajustado.[cite: 3]
– D e E: Erros no cômputo dos graus de liberdade no denominador.[cite: 3]
QUESTÃO 11: Alternativa A[cite: 3]
• Resolução Matemática:[cite: 3]
1. Expoente logit para X = 3: z = −2, 4 + 0, 8(3) = −2, 4 + 2, 4 = 0, 0.[cite: 3]
2. Razão de chances para X = 3: Odds(3) = ez = e0,0 = 1, 00.[cite: 3]
11
3. Probabilidade estimada: p(3) = ez
1+ez
= 1,00
1+1,00
= 1,00
2,00
= 0, 50 (50%).[cite: 3]
4. Odds Ratio (OR) para aumento unitário em X: OR = eβ1 = e0,8 ≈ 2, 2255 ≈
2, 23.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– B: Confundiu o coeficiente angular com a razão de chances.[cite: 3]
– C: Aplicou a exponencial sobre o intercepto em vez da inclinação.[cite: 3]
– D: Calculou para um valor z incorreto.[cite: 3]
– E: Zerou a probabilidade incorretamente.[cite: 3]
QUESTÃO 12: Alternativa B[cite: 3]
• Fundamentação Teórica: Um span f muito pequeno utiliza pouquíssimos pontos vizinhos
em cada ajuste local.[cite: 3] Isso torna o modelo extremamente sensível a flutuações
aleatórias da amostra, eliminando o viés do treino, mas aumentando drasticamente a
variância da curva (overfitting).[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: Descreve o efeito de escolher um f muito grande (underfitting).[cite: 3]
– C: LOESS é uma técnica não paramétrica para dados contínuos.[cite: 3]
– D: Nenhum modelo não paramétrico elimina o erro residual em dados futuros.[cite:
3]
– E: O LOESS não faz suposições de distribuição lognormal nos erros.[cite: 3]
QUESTÃO 13: Alternativa D[cite: 3]
• Resolução Matemática:[cite: 3]
1. O número de amostras Bootstrap distintas obtidas por amostragem com reposição
de tamanho n a partir de um conjunto de tamanho n equivale à combinação com
repetição
(︁
2n−1
n
)︁
.[cite: 3]
2. Para n = 4: Nb =
(︁
2(4)−1
4
)︁
=
(︁
7
4
)︁
= 7!
4!(7−4)!
= 7×6×5×4!
4!×(3×2×1)
= 210
6
= 35.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: n = 4.[cite: 3]
– B: n2 = 42 = 16.[cite: 3]
– C: Permutação simples sem reposição (4! = 24).[cite: 3]
– E: Número total de sequências ordenadas (nn = 44 = 256).[cite: 3]
QUESTÃO 14: Alternativa C[cite: 3]
• Resolução Matemática:[cite: 3]
1. Para encontrar a taxa de variação parcial de ŷ em relação a X1, reescrevemos o
modelo isolando X1: ŷ = 10 + (2, 0 + 0, 5x2)x1 + 1, 5x2.[cite: 3]
2. O efeito marginal é dado por: ∂ŷ
∂x1
= 2, 0 + 0, 5x2.[cite: 3]
3. Substituindo X2 = 4: Efeito marginal = 2, 0+0, 5(4) = 2, 0+2, 0 = 4, 0 unidades.[cite:
3]
12
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: Ignorou o termo de interação (2, 0).[cite: 3]
– B: Somou os coeficientes principais sem utilizar X2 (2, 0 + 1, 5 = 3, 5).[cite: 3]
– D e E: Erros na substituição algébrica.[cite: 3]
QUESTÃO 15: Alternativa C[cite: 3]
• Resolução Matemática:[cite: 3]
1. Quadrado Médio da Regressão: QMR = SQR
k
= 180,0
3
= 60, 0.[cite: 3]
2. Graus de liberdade residuais: glres = n− (k + 1) = 24− (3 + 1) = 20.[cite: 3]
3. Quadrado Médio do Erro: QME = SQEglres
= 100,0
20
= 5, 0.[cite: 3]
4. Estatística F Global: F = QMR
QME
= 60,0
5,0
= 12, 00.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: Dividiu SQR/SQE = 180/100 = 1, 80 sem calcular as médias dos quadrados.[cite:
3]
– B: Dividiu SQR pelos glres (180/20 = 9).[cite: 3]
– D: Elevou a estatística ao quadrado indevidamente.[cite: 3]
– E: Dividiu SQT/SQE.[cite: 3]
QUESTÃO 16: Alternativa B[cite: 3]
• Resolução Matemática:[cite: 3]
1. Fator de Inflação da Variância: V IFj =
1
1−R2
j
.[cite: 3]
2. Substituindo R2
3 = 0, 80: V IF3 =
1
1−0,80
= 1
0,20
= 5, 00.[cite: 3]
3. Interpretação: A variância do estimador do coeficiente β̂3 foi inflacionada por um
fator de 5 devido à colinearidade com os demais regressores.[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: Calculou 1/0, 80 = 1, 25.[cite: 3]
– C: Apresenta a tolerância (1−R2
3 = 0, 20), que é o inverso do VIF.[cite: 3]
– D: Valor de VIF correspondente a R2 = 0, 90.[cite: 3]
– E: Apresenta a regra de corte teórica sem realizar o cômputo.[cite: 3]
QUESTÃO 17: Alternativa B[cite: 3]
• Fundamentação Teórica: O critério Cp de Mallows avalia o erro quadrático médio de
previsão total.[cite: 3] Para um modelo candidato com p = k + 1 parâmetros estimados
(incluindo o intercepto), um ajuste parsimonioso e isento de viés de subespecificação
apresentará Cp ≈ p = k + 1 (neste caso, Cp ≈ 5, 0).[cite: 3]
• Análise dos Distratores:[cite: 3]
– A: Cp ≫ p indica forte viés por omissão de variáveis relevantes.[cite: 3]
– C: O valor zero não é a meta do Cp.[cite: 3]
13
– D e E: Fórmulas desconectadas da definição teórica do Cp.[cite: 3]
QUESTÃO 18: Alternativa B[cite: 3]
• Análise Integrativa do Cenário:[cite: 3]
1. Diagnóstico 1: R2 elevado (0, 91) com Teste F global significativo (p