11. r é uma reta que passa pelo ponto (1, 2) e intercepta os eixos nos pontos A = (a, 0) e B = (0, b) com a > 0 e b > 0. Determine r de modo que a distância de A a B seja a menor possível.
\(\[\begin{align} & Temos: \\ & AB\text{ } \\ & a=b \\ & Quando:a\text{ }=\text{ }b~ \\ & m\text{ }=-1 \\ & m\text{ }=\text{ }-1\text{ }\to \text{ }coeficiente\text{ }angular \\ & \frac{\left( y-2 \right)}{\left( x-1 \right)}=-1 \\ & y-2\text{ }=-x+1 \\ & \text{Portanto:} \\ & y\text{ }=\text{ }-x+3 \\ \end{align}\] \)
r passa por (1,2) (a,0) e (0,b), entao:
2=c.1+d
0=c.a+d
b=c.0+d ⇒ d=b e c=-b/a
2=-b/a+b ⇒ a = b/(b-2)
distancia A a B: d^2=a^2+b^2=b^2(1+(b-2)^2)/(b-2)^2
Queremos achar o b que minimiza a função, dd/db=0: d^2=b^4-4.b^3+5.b^2/(b^2-4.b+4)
0=2.b(-b/(b-2)^3+1/(b-2)^2+1), com b>0 ⇒ (-b/(b-2)^3+1/(b-2)^2+1)=0
-b+(b-2)+(b-2)^3=0 ⇒ b=2+2^(1/3) a= 1+2^(2/3)
Assim: r: y= x.(1+2^(2/3)) + 2 + 2^(1/3)
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