Derivada e taxas relacionadas

Seja t o tempo, como o ângulo θ faz quatro revoluções por minuto, então: dθ dt = 8π ≈ 24(rad/min). Seja x seja a distância do ponto de luz na praia em relação ao ponto P, então tg θ = x 3 . Logo, x = 3 tg θ e, portanto: dx dt = d(3 tg θ) dt = 3 d(tg θ) dt regra da cadeia = 3 d tg θ dθ dθ dt = 3 d dθ sen θ cos θ ! · 24 = regra do quociente = 72 cos2 θ + sen2 θ cos2 θ = 72 cos2 θ . Quando x = 3, então θ = π 4 e, portanto, cos π 4 = √ 2 2 . Logo: dx dt = 72 √ 2/2 2 = 72 2/4 = 144 (km/min). Ou ainda: dx dt = 144 60 (km/min) = 2, 4 (km/min).

Para encontrarmos a velocidade de movimento do feixe, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \frac{dx}{dt}=\frac{d(3\tan \theta )}{dt} \\ & \frac{dx}{dt}=3\frac{d(\tan \theta )}{dt} \\ & \frac{dx}{dt}=3\frac{d\tan \theta }{d\theta }\cdot \frac{d\theta }{dt} \\ & \frac{dx}{dt}=3\frac{d}{d\theta }\left( \frac{\sin \theta }{\cos \theta } \right)24 \\ & \frac{dx}{dt}=72\frac{co{{s}^{2}}\theta +{{\sin }^{2}}\theta }{co{{s}^{2}}\theta } \\ & \frac{dx}{dt}=\frac{72}{co{{s}^{2}}\theta } \\ & \frac{dx}{dt}=\frac{72}{{{\left( \sqrt{2}/2 \right)}^{2}}} \\ & \frac{dx}{dt}=\frac{72}{2/4} \\ & \frac{dx}{dt}=144km/\min \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{\frac{{dx}}{{dt}} = 144{\text{ km/min}}}\)