Questão resolvida - Calcule as integrais abaixo, utilizando, na ordem, as técnicas de integração por partes e por frações parciais - integral por partes - Cálculo II - INFNET

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• Calcule as integrais abaixo, utilizando, na ordem, as técnicas de integração por partes 
e por frações parciais.
 
1. x + 2x cos x dx∫ 2 ( )
 
Resolução:
 
Da definição de integral por partes, temos que;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
Usando a definição, fazemos;
 
u = x + 2x du = 2x + 2 dx; dv = cos x dx v = cos x dx v = sen x2 → ( ) ( ) → ∫ ( ) → ( )
 
Assim :
 
x + 2x cos x dx = x + 2x sen x - sen x 2x + 2 dx∫ 2 ( ) 2 ( ) ∫ ( )( )
 
Na integral resultante, aplicamos novamente a técnica de integral por partes;
 
sen x 2x + 2 dx = 2x + 2 sen x dx∫ ( )( ) ∫( ) ( )
 
fazemos : u = 2x + 2 du = 2dx; dv = sen x dx v = sen x dx v = -cos x→ ( ) → ∫ ( ) → ( )
 
Com isso :
 
2x + 2 sen x dx = 2x + 2 -cos x - -cos x 2dx = - 2x + 2 cos x + 2 cos x dx∫( ) ( ) ( )( ( )) ∫( ( )) ( ) ( ) ∫ ( )
 
2x + 2 sen x dx = - 2x + 2 cos x + 2sen x + c∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
 
Dessa forma, a solução da integralfica;
 
x + 2x cos x dx = x + 2x sen x - - 2x + 2 cos x + 2sen x + c∫ 2 ( ) 2 ( ) ( ( ) ( ) ( ))
 
Reorganizando os termos;
 
x + 2x cos x dx = x sen x + 2xsen x + 2x + 2 cos x - 2sen x + c∫ 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x + 2x cos x dx = x sen x + 2xsen x - 2sen x + 2x + 2 cos x + c∫ 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
x + 2x cos x dx = x + 2x- 2 sen x + 2x+ 2 cos x + c ∫ 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
 
 
 
(Resposta )