Questão resolvida - Calcule as integrais abaixo, utilizando, na ordem, as técnicas de integração por partes e por frações parciais 2) - integral por partes - Cálculo II - INFNET

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• Calcule as integrais abaixo, utilizando, na ordem, as técnicas de integração por partes 
e por frações parciais.
 
2. dx
1
0
∫ x - 4
x + 5x + 62
 
Resolução:
 
Antes de criar uma relação usando frações parciais, é preciso resolver a equação do 2° do 
denominador;
 
x + 5x + 6 = 02
 
x = x' = = = = = - 2
- 5 ±
2 ⋅ 1
( ) 5 - 4 ⋅ 1 ⋅ 6( )2
→
-5 +
2
25 - 24 -5 -
2
1 -5 + 1
2
-4
2
 
 x" = = = = = - 3
-5 -
2
25 - 24 -5 -
2
1 -5 - 1
2
-6
2
 
Com isso, a forma fatorada do polinômio do denominador é:
 
x + 5x + 6 = x + 3 x + 22 ( )( )
 
Agora, usando frações parciais, criamos a seguinte relação;
 
= +
x - 4
x + 3 x + 2( )( )
A
x + 3
B
x + 2
 
No segundo membro, somamos as frações, fica;
 
=
x - 4
x + 3 x + 2( )( )
A x + 2 + B x + 3
x + 3 x + 2
( ) ( )
( )( )
 
 
 
Desenvolvendo os cálculos da expressão, chegamos em um sistema, como visto a seguir;
 
Resolvendo o sistema;
 
A + B = 1 A = 1 -B; substituindo na segunda equação :→
 
2 1 -B + 3B = - 4 2 - 2B + 3B = -4 B = -4 - 2 B = -6( ) → → →
 
Com isso A = 1 - -6 A = 1 + 6 A = 7→ ( ) → →
 
Conhecidos os valores de e , temos;A B
 
= + = -
x - 4
x + 3 x + 2( )( )
7
x + 3
-6
x + 2
( )
→
x - 4
x + 3 x + 2( )( )
7
x + 3
6
x + 2
 
Usando a relação acima, a integral em sua forma indefinida fica;
 
dx = dx + dx = 7 dx - 6 dx∫ x - 4
x + 5x + 62
∫ 7
x + 3
∫ -6
x + 2
∫ 1
x + 3
∫ 1
x + 2
 
dx = 7ln x + 3 - 6ln x + 2 = ln x + 3 - ln x + 2∫ x - 4
x + 5x + 62
( ) ( ) ( )7 ( )6
 
dx = ln∫ x - 4
x + 5x + 62
x + 3
x + 2
( )7
( )6
 
 
= x - 4 = A x + 2 + B x + 3
x - 4
x + 3 x + 2( )( )
A x + 2 + B x + 3
x + 3 x + 2
( ) ( )
( )( )
→ ( ) ( )
 
Ax + 2A + Bx + 3B = x - 4 Ax + Bx + 2A + 3B = x - 4→
 
A + B x + 2A + 3B = x - 4 → ( ) →
A + B = 1
2A + 3B = -4
Voltando para a integral em sua forma definida, temos que;
 
dx = ln = ln - ln
1
0
∫ x - 4
x + 5x + 62
x + 3
x + 2
( )7
( )6
1
0
1 + 3
1 + 2
( )7
( )6
0 + 3
0 + 2
( )7
( )6
 
dx = ln - ln = ln - ln = ln
1
0
∫ x - 4
x + 5x + 62
1 + 3
1 + 2
( )7
( )6
0 + 3
0 + 2
( )7
( )6
4
3
( )7
( )6
3
2
( )7
( )6
4
3
( )7
( )6
3
2
( )7
( )6
 
dx = ln ⋅ = ln ⋅ = ln
1
0
∫ x - 4
x + 5x + 62
2
3
( )2
7
( )6
2
3
( )6
( )7
2
3
( )14
( )6
2
3
( )6
( )7
2
3
( )14+6
( )6+7
 
dx = ln ≅ - 0, 42
1
0
∫ x - 4
x + 5x + 62
2
3
( )20
( )13
 
 
(Resposta )