Mostre que: lim ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x)/ ∆x = limx→p f(p) − f(x)/ x − p ;

Vou tentar dar uma ideia de como poderia ser.

Escreva

∆x = p - x

de modo que p é, então, um cabelésimo maior que x, e essa diferença é igual a ∆x. Como a ideia é que este cabelésimo seja cada vez mais próximo de zero, isso é o mesmo que pensar que x seja cada vez mais próximo de p. Então, o limite  ∆x → 0  é a mesma coisa que

p - x → 0, ou x → p

Finalmente, substuindo ∆x por p - x em f(x + ∆x) − f(x)/∆x, fica:

              f(x + p - x) − f(x)                     f(p) - f(x)
   lim     -----------------------  =   lim      ---------------
x → p             p - x                  x → p        p - x

Observe que o denominador é (p - x), e não (x - p), como estava no seu enunciado.

Outra forma que aparece mais é fazer ∆x = x - p, o que gera lim {x→p}  [f(x) − f(p)]/(x − p).