ache a área da região compreendida pelas curvas x=y^2 e y=x-2

Boa tarde!

Primeiramente encontrar a interseção entre as curvas em questão. Temos uma parábola no eixo y (x=y^2) e uma reta (x=y+2)

Veja que 'inverti' o y com o x, justamente para facilitar nossas vidas.

Então, procurando as interseções:

y^2=y+2

y^2-y-2=0

Resolvendo encontraremos duas raízes, y'=2 e y''=-1, que serão as interseções entre as duas equações.

y=-1, x=1 OK!

y=2, x=4 OK!

Agora, só integrar de -1 a 2 (em y)

∫(-1 a 2) (y+2)-y^2 dy = y^2/2+2y-y^3/3 (-1 a 2) = 2^2/2+2(2)-2^3/3-[(-1)^2/2+2(-1)-(-1)^3/3]=2+4-8/3-(1/2-2+1/3)=6-8/3+3/2-1/3=15/2-9/3=15/2-3=7,5-3=4,5

Espero ter ajudado!

Para encontrarmos a área da região, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & x={{y}^{2}} \\ & x=y+2 \\ & \\ & {{y}^{2}}-y-2=0 \\ & \\ & y'=2 \\ & y''=-1 \\ & \\ & A=\int_{a}^{b}{f(y)-g(y)}dy \\ & A=\int_{-1}^{2}{\left( {{y}^{2}}-y-2 \right)}dy \\ & A=\left( \frac{{{y}^{3}}}{3}-\frac{{{y}^{2}}}{2}-2y \right)_{-1}^{2} \\ & A=\left( \frac{8}{3}-2-4 \right)-\left( \frac{-1}{3}-\frac{1}{2}+2 \right) \\ & A=\frac{8-18}{3}-\left( \frac{-2-3+12}{6} \right) \\ & A=\frac{-10}{3}-\frac{7}{6} \\ & A=\frac{-20-7}{6} \\ & A=\frac{-27}{6} \\ \end{align}\ \)

A área será de \(\boxed{A = \frac{{ - 27}}{6}}\).