Como resolver as questões 19 (decolagem de aviões) e 21(meia vida) da pág. 07 do livro: "matemática superior para engenharia"

Dada uma certa quantidade, digamos, 0,5 g (grama), de uma substância radioativa, encontre a quantidade que estará presente num instante posterior qualquer. Informação Física. Experimentos mostram que, a cada instante, uma substância radioativa se decompõe segundo uma taxa proporcional à quantidade dela presente. Etapa 1. Elaboração de um modelo matemático (uma equação diferencial) do processo físico. Chamemos de y(t) a quantidade de substância que ainda está presente num instante t qualquer. Segundo a lei física, a taxa temporal de variação y
(t) = dy/dt é proporcional a y(t). Chamemos a constante de proporcionalidade de k. Então dy dt ky.

Dada uma certa quantidade, digamos, 0,5 g (grama), de uma substância radioativa, encontre a quantidade que estará presente num instante posterior qualquer. Informação Física. Experimentos mostram que, a cada instante, uma substância radioativa se decompõe segundo uma taxa proporcional à quantidade dela presente. Etapa 1. Elaboração de um modelo matemático (uma equação diferencial) do processo físico. Chamemos de y(t) a quantidade de substância que ainda está presente num instante t qualquer. Segundo a lei física, a taxa temporal de variação y
(t) = dy/dt é proporcional a y(t). Chamemos a constante de proporcionalidade de k. Então (6) dy dt ky. 6 Parte A • Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) O valor de k é conhecido por meio de experimentos realizados com diversas substâncias radioativas (p. ex., para o isótopo de rádio 88Ra226, k = –1,4 10–11 s–1 aproximadamente). Uma vez que y(t) decresce com o tempo, k é negativo. O valor inicial dado é de 0,5 g. Considere que o tempo correspondente a essa situação inicial seja t = 0. Então, a condição inicial é y(0) = 0,5. Esse é o instante em que o processo começa, o que reforça o uso do termo “condição inicial” (embora esse termo também seja utilizado de maneira mais geral em situações onde a variável independente não é o tempo ou quando se escolhe para t um valor diferente de t = 0). Dessa forma, o modelo do processo corresponde ao problema de valor inicial (7) dy dt ky, y(0) 0,5. Etapa 2. Solução matemática. Como ocorreu no Exemplo 3, concluímos que a EDO (6) constitui um modelo para o decaimento exponencial e possui a solução geral (com a constante arbitrária c, porém com um valor definido para k) (8) y(t) cekt. Usemos agora a condição inicial para determinarmos c. Visto que, a partir de (8), y(0) = c, isso nos faz concluir que y(0) = c = 0,5. Dessa forma, a solução particular que governa esse processo é (9) y(t) 0,5ekt (Fig. 4). Verifique sempre o resultado encontrado — que pode conter erros humanos ou computacionais! Verifique por derivação (regra da cadeia!) que a sua solução (9) satisfaz a (7) e que y(0) = 0,5: dy dt 0,5kekt k · 0,5ekt ky, y(0) 0,5e0 0,5. Etapa 3. Interpretação do resultado. A Fórmula (9) determina a quantidade de substância radioativa presente num instante t. Ela começa com a quantidade inicial correta que havia sido informada e vai diminuindo com o tempo, devido ao fato de k (a constante de proporcionalidade, que depende do tipo de substância) ser negativa. O limite de y, à medida que t → ∞, é zero.
Fig. 4. Radiatividade (Decaimento exponencial, y = 0,5ekt, com o exemplo k = –1,5) EXEMPLO