um semi anel de raio r está eletrizado com densidade linear de cargas λ= kcosθ, sendo λ uma constante.calcular o campo eletrostatico no centro do anel

Vamos considerar o semi-anel com extremidades no eixo \(\hat x\), cortando o eixo \(\hat y\) em seu ponto mais alto. A expressão para o campo eletrostático é dada por:

\(\vec E = {1\over4\pi\varepsilon_0}\int{dq\over r^2}\hat r\)

A distância ao centro do anel é constante, de forma que temos:

\(\vec E = {1\over4\pi r^2\varepsilon_0}\int \hat r\ dq\)

Mas a densidade de carga é dada por:

\(\lambda = {dq\over ds}={dq\over rd\theta}=k\ cos\ \theta\Rightarrow dq = kr\ cos\ \theta\ d\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(\vec E = {k\over4\pi r\varepsilon_0}\int_0^\pi \hat r\ cos\ \theta\ d\theta\)
não foi dado o referencial do ângulo, então estamos considerando o referencial em relação ao eixo x positivo. Para o versor radial, temos:

\(\hat r = -\hat x\ cos\ \theta-\hat y\ sen\ \theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(\vec E = -{k\over4\pi r\varepsilon_0}\int (\hat x\ cos\ \theta+\hat y\ sen\ \theta)\ cos\ \theta\ d\theta = -{k\over4\pi r\varepsilon_0}\int_0^\pi \hat x\ cos^2\theta\ d\theta-{k\over4\pi r\varepsilon_0}\int_0^\pi \hat y\ sen\ \theta\ cos\ \theta\ d\theta\)

Vamos lembrar das expressões de seno e cosseno do arco duplo:

\(cos\ 2\theta=cos^2\theta-sen^2\theta=2cos^2\theta-1\Rightarrow cos^2\theta={1+cos\ 2\theta\over2}\\ sen\ 2\theta=2\ sen\ \theta\ cos\ \theta\Rightarrow sen\ \theta\ cos\ \theta = {sen\ 2\theta\over2}\)

Substituindo nas integrais, temos:

\(\vec E = -{k\over8\pi r\varepsilon_0}\hat x\int_0^\pi (1+cos\ 2\theta)\ d\theta-{k\over8\pi r\varepsilon_0}\hat y\int_0^\pi sen\ 2\theta\ d\theta\)

Integrando, temos:

\(\vec E = -{k\over8\pi r\varepsilon_0}\hat x \left[\theta+{1\over2}sen\ 2\theta\right]_0^\pi-{k\over8\pi r\varepsilon_0}\hat y\left[-{1\over2}cos\ 2\theta\right]_0^\pi\)

Efetuando os cálculos, temos:

\(\boxed{\vec E = -{k\over8 r\varepsilon_0}\hat x}\)

Isto é, no sentido de uma extremidade para a outra do semi-anel.