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Tenho uma integral de linha e uma curva parametrizada.Descobri que o campo é conservativo ao fazer o rotF.Integral duvida

Calcule a integral de linha :∫(2xyz+x^2sin(x^2+1))dx+(x^2z+e^y^2)dy+(x^2y+ze^z^2)dz, onde C a curva parametrizada por σ(t)=(cos^6t,(1-t^2)sin^4t,(t^2+1)) com t E[0,pi].

Bom, apos ver que campo é conservativo chega-se a conclusao de que independe da linha.

Resolvi integrar a cada termo (x,y,z)... mas a integral em x nao esta dando certo.Gostaria de ajud com a integral ou se há outroo meio de resolução.


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para resolvermos a integral dada, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & I=\int_{{}}^{{}}{(2xyz+{{x}^{2}}sin({{x}^{2}}+1))dx+({{x}^{2}}z+{{e}^{y}}^{2})dy+({{x}^{2}}y+z{{e}^{z}}^{2})dz} \\ & I={{x}^{2}}yz-{{x}^{2}}\cos (x+1)+2(xain(x+1)+\cos (x+1))+\frac{z{{x}^{3}}}{3}+x{{e}^{{{y}^{2}}}}+\frac{{{x}^{3}}y}{3}+xz{{e}^{{{z}^{2}}}} \\ & \\ & (t)=(co{{s}^{6}}t,(1-{{t}^{2}})si{{n}^{4}}t,({{t}^{2}}+1)) \\ & \int_{0}^{\pi }{f(t)=}\int_{0}^{\pi }{(co{{s}^{6}}t)} \\ & \int_{0}^{\pi }{f(t)=}\frac{{{\cos }^{5}}t\sin t}{6}+\frac{5{{\cos }^{3}}t\sin t}{24}+\frac{5t}{16}+\frac{5\sin 2t}{32} \\ & \int_{0}^{\pi }{f(t)=}\frac{{{\cos }^{5}}t\sin t}{6}+\frac{5{{\cos }^{3}}t\sin t}{24}+\frac{5t}{16}+\frac{5\sin 2t}{32} \\ & \int_{0}^{\pi }{f(t)=}\frac{5\pi }{16} \\ \end{align}\ \)

Para resolvermos a integral dada, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & I=\int_{{}}^{{}}{(2xyz+{{x}^{2}}sin({{x}^{2}}+1))dx+({{x}^{2}}z+{{e}^{y}}^{2})dy+({{x}^{2}}y+z{{e}^{z}}^{2})dz} \\ & I={{x}^{2}}yz-{{x}^{2}}\cos (x+1)+2(xain(x+1)+\cos (x+1))+\frac{z{{x}^{3}}}{3}+x{{e}^{{{y}^{2}}}}+\frac{{{x}^{3}}y}{3}+xz{{e}^{{{z}^{2}}}} \\ & \\ & (t)=(co{{s}^{6}}t,(1-{{t}^{2}})si{{n}^{4}}t,({{t}^{2}}+1)) \\ & \int_{0}^{\pi }{f(t)=}\int_{0}^{\pi }{(co{{s}^{6}}t)} \\ & \int_{0}^{\pi }{f(t)=}\frac{{{\cos }^{5}}t\sin t}{6}+\frac{5{{\cos }^{3}}t\sin t}{24}+\frac{5t}{16}+\frac{5\sin 2t}{32} \\ & \int_{0}^{\pi }{f(t)=}\frac{{{\cos }^{5}}t\sin t}{6}+\frac{5{{\cos }^{3}}t\sin t}{24}+\frac{5t}{16}+\frac{5\sin 2t}{32} \\ & \int_{0}^{\pi }{f(t)=}\frac{5\pi }{16} \\ \end{align}\ \)

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Maurício Augusto

Há mais de um mês

Olá Igor,

Provavelmente o campo deve ser algo muito bizarro,certo? A parametrização tem uma limitação, certo? Neste caso: teta varia de 0 até pi. Então, se você substituir o valor inicial e final da parametrização dada (neste exemplo, 0 e 1). Você vai encontrar qual é o ponto inicial e qual é o ponto final da trajetória. Como o campo é conservativo (lembre-se de escrever isso numa prova), independentemente do caminho que liga esses dois pontos você pode calcular a integral de linha em uma outra parametrização mais fácil do que essa que foi dada.

Desculpa, acho que você já fez isso tudo, mas estou deixando isso discriminado para ficar completo.

Achei os pontos : (1,0,1) e (0,0,pi^2 + 1)

Escolha uma nova parametrização das curvas! Para cada parametrização você vai subsituir cada valor correspondente na função dada! Vamos lá.

Iremos antes deslocar no eixo x. Então faremos a parametrização: (1 - t,0,1) para t variando de 0 a 1. Depois no eixo z: (0,0,t + 1) com t variando de 0 até pi^2

Utilizamos então essa parametrização na função (isto é vamos aplicar a parametrização na função e multiplicar escalarmente pela derivada da parametrização) se você não está entendendo o que eu estou falando recomendo que você veja rapidamente a parte de "integral de linha em função vetorial".

Para este primeiro caso temos x = 1-t, y=0, z=1 (substitui isso na função e multiplicamos pela derivada da parametrização (-1,0,0) repare que apenas temos a parte da função "dx". Você resolve esta integral por partes.

E depois fazer o mesmo para a outra curva.

O teorema de Stokes talvez ajude, mas ele só poderá ser aplicado se a curva for fechada. Então você criaria uma ou mais curvas para fechar, aplique o teorema de Stokes (dando a sua definição).

Espero ter te ajudado!

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas