Exerćıcio 2. Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇f . (a) F (x, y) = (2x− 3y)~i...

Para determinar se um campo vetorial é conservativo, precisamos verificar se ele satisfaz a condição de ser o gradiente de uma função escalar. Se for possível encontrar uma função f tal que o gradiente de f seja igual ao campo vetorial F, então F é conservativo. Vamos analisar cada alternativa: (a) F(x, y) = (2x - 3y)i + (-3x + 4y - 8)j Para verificar se F é conservativo, precisamos encontrar uma função f tal que ∇f = F. Calculando as derivadas parciais de f em relação a x e y, temos: ∂f/∂x = 2x - 3y ∂f/∂y = -3x + 4y - 8 Agora, vamos integrar a primeira equação em relação a x, considerando y como constante: f = ∫(2x - 3y) dx = x^2 - 3xy + C(y) Agora, derivando essa função em relação a y, temos: ∂f/∂y = -3x + C'(y) Comparando com a segunda equação original, temos: C'(y) = 4y - 8 Integrando C'(y) em relação a y, temos: C(y) = 2y^2 - 8y + K Portanto, a função f que satisfaz ∇f = F é: f = x^2 - 3xy + 2y^2 - 8y + K Como foi possível encontrar uma função f, concluímos que o campo vetorial F é conservativo. Resposta: (a) F(x, y) é um campo vetorial conservativo. Uma função f que satisfaz F = ∇f é f = x^2 - 3xy + 2y^2 - 8y + K.