Se for ∫ [t * ( 7t² + 12)^1/2 ]dt temos:
fazendo a substituição u = 7t² + 12 , derivando temos du = 14t dt ⇒
tdt = du/14 substituindo na integral original temos
1/14∫u^1/2 du = (1/14)*(2/3) u^3/2 = (1/21) u^3/2 + k , k uma constante arbitrária
voltando para a variavel original ficamos com:
∫ [t * ( 7t² + 12)^1/2 ]dt = 1/21(7t²+12)^3/2 + k
Neste exercício, será utilizada o método da substituição para determinar a seguinte integral:
\(\Longrightarrow \int t\sqrt {7t^2+12}dt\) \((I)\)
Considerando uma nova variável \(u=7t^2+12\), tem-se que:
\(\Longrightarrow {du \over dt}={d \over dt}(7t^2+12)\)
\(\Longrightarrow {du \over dt}=7 \cdot 2t^1+0\)
\(\Longrightarrow du=14t \space dt\)
Substituindo os termos conhecidos na equação \((I)\), a equação resultante é:
\(\Longrightarrow {1 \over 14}\int \color{Red}{14t}\sqrt {\color{Blue}{7t^2+12}} \color{Red}{dt}\)
\(\Longrightarrow {1 \over 14}\int \sqrt {\color{Blue}u} \color{Red}{du}\)
\(\Longrightarrow {1 \over 14}\int u^{0,5} {du}\)
\(\Longrightarrow {1 \over 14} \bigg[{1 \over 0,5 +1}u^{(0,5+1)} \bigg]+c\)
\(\Longrightarrow {1 \over 14} \bigg[{1 \over 1,5}u^{1,5} \bigg]+c\)
\(\Longrightarrow {1 \over 14\cdot 1,5} u^{1,5}+c\)
\(\Longrightarrow {1 \over 21} u^{1,5}+c\)
Substituindo \(u=7t^2+12\) na equação anterior, tem-se que a integral é:
\(\Longrightarrow \int t\sqrt {7t^2+12}dt = {1 \over 21} u^{1,5}+c\)
\(\Longrightarrow \fbox {$ \int t\sqrt {7t^2+12}dt = {1 \over 21} (7t^2+12)^{1,5}+c $}\)
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