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Determine o momento de inércia de uma cilindro de raio R e altura H.

O momento de inércia é em relação ao eixo axial do cilindro. A base do cilindro se encontra no plano xy. A sua densidade é dada pela função p(x, y, z)=x^2+y^2+1.


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Há mais de um mês

Para o momento de inércia, temos:

\(I=\int r^2dm=\int r^2\rho(x,y,z)\ dV\)

Para a densidade temos:

\(\rho(x, y, z)=x^2+y^2+1\)

Reescrevendo em coordenadas cilíndricas, temos:

\(\rho(r, \theta, z)=r^2+1\)

Como a densidade não depende do ângulo nem da cota, podemos usar o diferencial de volume \(dV=2\pi rH\ dr\):

\(I=\int_0^R r^2\rho(r,\theta,z) 2\pi rH\ dr=2\pi H\int_0^R r^3(r^2+1) \ dr=2\pi H\int_0^R r^5+r^3 \ dr\)

Integrando, temos:

\(I=2\pi H\left[{1\over6}r^6+{1\over4}r^4\right]_0^R\Rightarrow\boxed{I={\pi R^4H\over6}\left(2R^2+3\right)}\)

Para o momento de inércia, temos:

\(I=\int r^2dm=\int r^2\rho(x,y,z)\ dV\)

Para a densidade temos:

\(\rho(x, y, z)=x^2+y^2+1\)

Reescrevendo em coordenadas cilíndricas, temos:

\(\rho(r, \theta, z)=r^2+1\)

Como a densidade não depende do ângulo nem da cota, podemos usar o diferencial de volume \(dV=2\pi rH\ dr\):

\(I=\int_0^R r^2\rho(r,\theta,z) 2\pi rH\ dr=2\pi H\int_0^R r^3(r^2+1) \ dr=2\pi H\int_0^R r^5+r^3 \ dr\)

Integrando, temos:

\(I=2\pi H\left[{1\over6}r^6+{1\over4}r^4\right]_0^R\Rightarrow\boxed{I={\pi R^4H\over6}\left(2R^2+3\right)}\)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas