A função x3 + y3 = 6xy é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função no ponto (3, 3).

Muito obrigado

Sendo a derivada igual a inclinação da reta tangente, basta substituir os valores do ponto (xo, yo) na expressão da derivada. Sendo assim, utiliza derivação implícita, deriva os dois lados de x3+y3=6xy em relação a x, considerando y como uma função de x e usando a Regra da Cadeia no termo y3 e a Regra do Produto no termo 6xy, temos:

3x2 +3y2y'=6xy+ 6y (divide por 3)

x2 +y2y '=2xy+ 2y (isola o y')

y2y' -2xy' =2y -x2 (coloca em evidência)

y'(y2 - 2x) = 2y - x2 

y'= 2y - x2/y2 - 2x (substitui os valores de x e y dos pontos)

Y=X=3

y'=2.3 - 3.3/3.3 - 2.3

y'=6-9/9-6

y'=-3/3

y'=-1

-1 é a inclinação da reta tangente, xo= 3 e yo=3 então a equação da reta tangente é

(y-3)= -1(x-3) ou x+y=6

Primeiramente devemos encontrar o coeficiente angular da equação:

\(\begin{align} & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=6xy \\ & 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}y'=6xy+6y \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}y'=2xy+2y \\ & {{y}^{2}}y-2xy=2y-{{x}^{2}} \\ & y'=2y-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}-2x} \\ & y'=2\cdot 3-\frac{{{3}^{2}}}{{{3}^{2}}-2\cdot 3} \\ & y'=\frac{6-9}{9-6} \\ & y'=\frac{-3}{3} \\ & y'=-1 \\ \end{align}\ \)

Agora vamos encontrar a equação da reta tangente:

\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=y'(x-{{x}_{0}}) \\ & y-3=-1(x-3) \\ & y-3=-x+3 \\ & y=-x+6 \\ \end{align} \)

Portanto, a equação da reta será \(\boxed{y = - x + 6}\),