subespaço vetorial

Para provar que W é um subespaço vetorial, precisamos satisfazer as seguintes condições:

S1) Se u e v são vetores de W, então u+v está em W.

S2) Se l é um escalar qualquer e u é um vetor qualquer em W, então lu está em W

Dadas as condições, provemos:

S1) Tomemos os vetores u=(x,y) e v=(x,y) , se os vetores u e v pertencem ao espaço dado, então:

u+v=(x+x,y+y) = (2x, 2y) = 2(x,3x) ; Observe que y=3x, e que, a condição é satisfeita.

S2) Utilizando os mesmos vetores do caso anterior e um l escalar qualquer:

lu=l(x,y)=(lx,ly)=(lx,l3x) . Observe que aqui a condição permanece sendo satisfeita, já que, o valor de l sendo qualquer, apenas faz uma combinação linear do vetor inicial, existente em R2.

Outra análise que se pode fazer é que y=3x é uma reta, e estando os vetores sobre uma reta, sua soma também estará sobre a reta, bem como, a multiplicação por escalar.

Sugiro aguardar mais alguma resposta de outro aluno, posso estar equivocado. Bons estudos.

Vamos verificar se W é subespaço de V:

\(\begin{align} & y=3x \\ & u=({{x}_{1}},3{{x}_{1}}) \\ & v=({{x}_{2}},3{{x}_{2}}) \\ & \\ & I)u+v=({{x}_{1}},3{{x}_{1}})+({{x}_{2}},3{{x}_{2}}) \\ & u+v=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}},3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}} \right) \\ & \\ & II)\lambda u=\lambda ({{x}_{1}},3{{x}_{1}}) \\ & \lambda u=(\lambda {{x}_{1}},3\lambda {{x}_{1}}) \\ & \\ & III)\lambda v=\lambda ({{x}_{2}},3{{x}_{2}}) \\ & \lambda u=(\lambda {{x}_{2}},3\lambda {{x}_{2}}) \\ \end{align}\ \)

Como todas as condições estão satisfeitas, concluimos que W é subespaço vetorial de V.