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Determine a equação do plano que passa pelo ponto P(-1,-2,-3) e contém a reta r:{x=t, y=2t, z=1}


4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para encontrarmos a equação do plano devemos realizar os seguintes procedimentos:

\(\[\begin{align} & P(-1,-2,-3) \\ & r:\left\{ x=t,\text{ }y=2t,\text{ }z=1 \right\} \\ & \\ & \pi :f(x)(x-{{x}_{0}})+f(y)(y-{{y}_{0}})+f(z)(z-{{z}_{0}})=0 \\ & \pi :1(x+1)+2(y+2)+1(z+3)=0 \\ & \pi :x+1+2y+4+z+3=0 \\ & \pi :x+2y+z+8=0 \\ \end{align}\] \)

Portanto, a equaçao do plano será \(\begin{align} & \pi :x+2y+z+8=0 \\ \end{align} \)

Para encontrarmos a equação do plano devemos realizar os seguintes procedimentos:

\(\[\begin{align} & P(-1,-2,-3) \\ & r:\left\{ x=t,\text{ }y=2t,\text{ }z=1 \right\} \\ & \\ & \pi :f(x)(x-{{x}_{0}})+f(y)(y-{{y}_{0}})+f(z)(z-{{z}_{0}})=0 \\ & \pi :1(x+1)+2(y+2)+1(z+3)=0 \\ & \pi :x+1+2y+4+z+3=0 \\ & \pi :x+2y+z+8=0 \\ \end{align}\] \)

Portanto, a equaçao do plano será \(\begin{align} & \pi :x+2y+z+8=0 \\ \end{align} \)

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Carlos

Há mais de um mês

https://www.passeidireto.com/arquivo/25121765/fisica-experimental-bdq-prova

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Gabriela

Há mais de um mês

já sabemos que o ponto P(-1,-2,-3) pertence ao plano. Outro ponto que pertence ao plano é o pont Q=(1,2,1), tirando da equação parametrica da reta pra t=1. A diferença entre P e Q resulta um vetor que é paralelo ao plano.

 

PQ=[(1-(-1),2-(-2),1-(-3)]
PQ = (2,4,4)

Como já disse, PQ é paralelo ao plano procurado. Outro vetor paralelo a esse plano é obtido da eq da reta: V= (1,2,0). Fazendo o produto vetorial entre os dois vetores, temos um vetor que é ortogonal aos dois, e, consequentemente, ortogonal ao plano.

PQ x V= |i   j   k|
              |1  2  0|
              |2  4  4|  =8i -4j +0k

O vetor (8,-4,0) é ortogonal ao plano que queremos. Então a equação do plano será:

8x -4y = C

sendo C uma constante. Substituindo o ponto (1,2,0) na equação:

8.1 -4.2 = C = 0

8x -4y = 0 é a equação do plano

 

Substitua (-1,-2,-3) pra conferir 

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Raphael

Há mais de um mês

Tipo.. se você souber calcular a equação do plano a partir de 3 pontos, é simples. Pega o ponto P e outros 2 pontos que estejam na reta r. Aí você consegue determinar o Plano

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas