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Determine a equação do plano que passa pelo ponto P(-1,-2,-3) e contém a reta r:{x=t, y=2t, z=1}


4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para encontrarmos a equação do plano devemos realizar os seguintes procedimentos:

\(\[\begin{align} & P(-1,-2,-3) \\ & r:\left\{ x=t,\text{ }y=2t,\text{ }z=1 \right\} \\ & \\ & \pi :f(x)(x-{{x}_{0}})+f(y)(y-{{y}_{0}})+f(z)(z-{{z}_{0}})=0 \\ & \pi :1(x+1)+2(y+2)+1(z+3)=0 \\ & \pi :x+1+2y+4+z+3=0 \\ & \pi :x+2y+z+8=0 \\ \end{align}\] \)

Portanto, a equaçao do plano será \(\begin{align} & \pi :x+2y+z+8=0 \\ \end{align} \)

Para encontrarmos a equação do plano devemos realizar os seguintes procedimentos:

\(\[\begin{align} & P(-1,-2,-3) \\ & r:\left\{ x=t,\text{ }y=2t,\text{ }z=1 \right\} \\ & \\ & \pi :f(x)(x-{{x}_{0}})+f(y)(y-{{y}_{0}})+f(z)(z-{{z}_{0}})=0 \\ & \pi :1(x+1)+2(y+2)+1(z+3)=0 \\ & \pi :x+1+2y+4+z+3=0 \\ & \pi :x+2y+z+8=0 \\ \end{align}\] \)

Portanto, a equaçao do plano será \(\begin{align} & \pi :x+2y+z+8=0 \\ \end{align} \)

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Raphael Oliveira Lourenço

Há mais de um mês

Tipo.. se você souber calcular a equação do plano a partir de 3 pontos, é simples. Pega o ponto P e outros 2 pontos que estejam na reta r. Aí você consegue determinar o Plano

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Carlos Eduardo Araujo

Há mais de um mês

https://www.passeidireto.com/arquivo/25121765/fisica-experimental-bdq-prova

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Taylor Cavalheiro

Há mais de um mês

A equação geral do plano é dada por:

[Maple OLE 2.0 Object]

Ou seja, o produto escalar entre o vetor normal (perpendicular ao plano) com o vetor formado pelo ponto Po (ponto contido no plano) e  P (um ponto qualquer pertencente ao plano)deve ser igual a 0.

Neste caso temos uma reta e um ponto, precisamos encontrar dois vetores contidos no plano. Para isso iremos encontrar primeiro um novo ponto dessa reta, que chamaremos de Q, aí poderemos determinar o vetor PQ. Além disso podemos encontrar através da reta dada r, o seu vetor diretor v. Vamos lá então. 

1- Determinando um novo ponto da reta r:

Para isso adotaremos um valor real qualquer para t, de modo a encontrar as coordenadas de x e y (o valor de z já está determinado por uma constante z=1)

Para t=1

Q(x=1; y=2 ; z=1)

Q(1,2,1)

 

2- Determinamos o vetor PQ:

PQ = Q-P

PQ= (1,2,1) - (-1, -2, -3)

PQ=(2,4,4)

 

3- O vetor v, diretor da reta r, é encontrado através da constante que multiplica t em cada uma de suas coordenadas. Dessa forma,temos que:

Se r:{x=t ; y=2t ; z=1

A constante que multiplica t em x é 1

a que multiplica t em y é 2

e como z não possui t, concluimos que a constante que multiplica o t em z é 0

Portanto temos:  v=(1,2,0)

 

4- Através do produto vetorial entre PQ e v, obteremos:

PQ x v = (-8,4,0)  , chamaremos o vetor resultante do produto vetorial de N (esse é o vetor ortogonal ao plano, pois é ortogonal ao vetor PQ e ao vetor v, simultaneamente)

 

5- Agora já temos o vetor perpendicular ao plano, o ponto P0 já nos foi dado, agg só nos resta encontrar o plano pi:

pi: N . PoP = 0

pi: N . (P-Po) = 0

pi: (-8, 4, 0) . (x+1, y+2, z+3) = 0

pi: -8x-8+4y+8+0 = 0

pi: -8x+4y=0

 

A resposta para a equação do seu plano pi é -8x+4y=0.

Se tiver alguma dúvida sobre o conteudo, pode dar uma olhada nos meus materiais. Lá vai encontrar bons livros e materiais com muitas demonstrações, principalmente conteúdo de algebra linear e geometria analítica. 

Bons estudos!

Link dos meus materiais: https://www.passeidireto.com/lista/10540401/meus-materiais

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