Determine a equação do plano que passa pelo ponto P(-1,-2,-3) e contém a reta r:{x=t, y=2t, z=1}

Tipo.. se você souber calcular a equação do plano a partir de 3 pontos, é simples. Pega o ponto P e outros 2 pontos que estejam na reta r. Aí você consegue determinar o Plano

https://www.passeidireto.com/arquivo/25121765/fisica-experimental-bdq-prova

A equação geral do plano é dada por:

Ou seja, o produto escalar entre o vetor normal (perpendicular ao plano) com o vetor formado pelo ponto Po (ponto contido no plano) e  P (um ponto qualquer pertencente ao plano)deve ser igual a 0.

Neste caso temos uma reta e um ponto, precisamos encontrar dois vetores contidos no plano. Para isso iremos encontrar primeiro um novo ponto dessa reta, que chamaremos de Q, aí poderemos determinar o vetor PQ. Além disso podemos encontrar através da reta dada r, o seu vetor diretor v. Vamos lá então. 

1- Determinando um novo ponto da reta r:

Para isso adotaremos um valor real qualquer para t, de modo a encontrar as coordenadas de x e y (o valor de z já está determinado por uma constante z=1)

Para t=1

Q(x=1; y=2 ; z=1)

Q(1,2,1)

2- Determinamos o vetor PQ:

PQ = Q-P

PQ= (1,2,1) - (-1, -2, -3)

PQ=(2,4,4)

3- O vetor v, diretor da reta r, é encontrado através da constante que multiplica t em cada uma de suas coordenadas. Dessa forma,temos que:

Se r:{x=t ; y=2t ; z=1

A constante que multiplica t em x é 1

a que multiplica t em y é 2

e como z não possui t, concluimos que a constante que multiplica o t em z é 0

Portanto temos:  v=(1,2,0)

4- Através do produto vetorial entre PQ e v, obteremos:

PQ x v = (-8,4,0)  , chamaremos o vetor resultante do produto vetorial de N (esse é o vetor ortogonal ao plano, pois é ortogonal ao vetor PQ e ao vetor v, simultaneamente)

5- Agora já temos o vetor perpendicular ao plano, o ponto P0 já nos foi dado, agg só nos resta encontrar o plano pi:

pi: N . PoP = 0

pi: N . (P-Po) = 0

pi: (-8, 4, 0) . (x+1, y+2, z+3) = 0

pi: -8x-8+4y+8+0 = 0

pi: -8x+4y=0

A resposta para a equação do seu plano pi é -8x+4y=0.

Se tiver alguma dúvida sobre o conteudo, pode dar uma olhada nos meus materiais. Lá vai encontrar bons livros e materiais com muitas demonstrações, principalmente conteúdo de algebra linear e geometria analítica. 

Bons estudos!

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