se você colocar o domínio de y no wolfram vai ver que a função x^2 fica "embaixo" da 2x, então o domínio de y será de x^2 ≤ y ≤ 2x, e o de x será o que já está no enunciado. integrando:
∫∫d x + y dydx
a partir daqui é fácil, é só integrar primeiro em y (sempre tratando x como uma constante), aplicar os intervalos e dps calcular em x.
Link do gráfico no wolfram:
Olá!
Eu fiz da seguinte maneira:
∫∫d x+y dx dy D= {y= 2x, y= x², 0≤ x ≤ 2}
Primeiro integrei em dy:
∫ x+y dy = xy+y2 | {y=2x a x2}
=[x(2x) + (2x)2]-[x(x2) + (x2)2] = 6x2-x3-x4
Agora a segunda integral, em dx.
∫ 6x2-x3-x4 dx = 2x3-(x4/4)-(x5/5) | {0≤ x ≤ 2}
=16 - 4 - 6,4 = 5,6
Certíssimo Letícia, tinha enxergado uma inequação aonde não tinha.
Y=x^2 é uma parábola com concavidade para cima, e 2x é uma linha em diagonal (função do primeiro grau positiva). Como você bem disse, traçando uma linha vertical, esta linha cruza primeiro x^2, logo a inequação é: (x^2 ≤ y ≤ 2x).
Integrando em dy:
∫ x+y dy = xy+y2/2| {x2 ≤y ≤ 2x}
=[ [x(x2) + (x2/2)2]- [x(2x) + (2x/2)2] = x3 + (x4/2) - 4x2
Agora a segunda integral, em dx.
∫ x3 + (x4/2) - 4x2 dx = (x4/4)+(x5/10)-(4x3/3) | {0≤ x ≤ 2}
=4+ (16/5) – (32/3) = |-52/15|
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