como determinar uma equação do plano tangente e da reta normal ao grafico da função, no ponto dado?

A partir da equação da função, você determinará a superfície de nível ou curva de nível. Dessa curva, achará o vetor gradiente, cujas coordenadas são dadas pelas derivadas parciais [∇f(x,y,z)= (∂f/∂x,∂f/∂y,∂f,∂z)]. O vetor gradiente será um vetor normal ao gráfico naquele ponto determinado.

Assim, tendo o gráfico de f(x,y,z), num ponto P=(xo,yo,zo) o vetor gradiente será ∇f(xo,yo,zo).

O plano tangente ao gráfico de f em P e normal à ∇f(xo,yo,zo) é dado por:

((x,y,z) - (xo,yo,zo)).(∇f(xo,yo,zo)) = 0

E a reta normal será paralela ao vetor gradiente e passará por P, e terá equação paramétrica:

(xo,yo,zo) + t.(∇f(xo,yo,zo))

É mais fácil visualizar com um exemplo:

Achar plano tg e reta normal à S: x³ +xy² +3xyz + z² = z em (1,1,0).

S é superfície de nível de f(x,y,z) = x³ +xy² +3xyz + z²

∇f(x,y,z)= (3x² +y² +3yz, 2xy +3xz, 3xy +2z)

∇f(1,1,0) = (4,2,3) [esse vetor é normal a S em (1,1,0)]

Plano tangente à S, normal à (4,2,3) passando por (1,1,0):

((x,y,,z) - (1,1,0)). (4,2,3)=0

4x +2y +3z -4 -2 =0

4x +2y +3z -6 =0

Reta normal:

(1,1,0) + t.(4,2,3)

⇔ r: x= 1 +4t

       y = 1 +2t

       z= 3t

Oi, Rafael. Tudo bem?

Agradecemos sua participação no Plantão de Especialistas :)

Segue anexa a solução da sua pergunta.

Bons estudos e super notas!

Esse vídeo explica bem como se encontra a equação do plano tangente e da reta normal 

https://www.youtube.com/watch?v=0QNHUJY2bKU