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Derivada.

Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de área total igual a 60cm², de modo que o volume seja máximo.

Cálculo IULBRA

2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

A área da base de um cilindro de raio \(r\) é dada pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow A_{base} = \pi r^2\)


A área lateral de um cilindro de raio \(r\) e altura \(h\) é dada pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow A_{lat} = 2\pi rh\)


Portanto, a área total de um cilindro é dada pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow A_{total} = 2A_{base} + A_{lat}\)

\(\Longrightarrow A_{total} = 2\pi r^2 + 2\pi r h\)


Isolando a altura \(h\) na equação anterior, tem-se que:

\(\Longrightarrow A_{total} = 2\pi r(r+h)\)

\(\Longrightarrow (r+h) = { A_{total} \over 2\pi r}\)

\(\Longrightarrow h = { A_{total} \over 2\pi r} - r\)   \((I)\)


O volume de um cilindro é dado pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow V = \pi r^2h\)   \((II)\)


Substituindo a equação \((I)\) na equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow V = \pi r^2 \Big[ { A_{total} \over 2\pi r} - r \Big ]\)

\(\Longrightarrow V = \pi r^2 { A_{total} \over 2\pi r} - \pi r^2 \cdot r\)

\(\Longrightarrow V = { A_{total} \over 2} r - \pi r^3\)    \((III)\)


Agora, temos o volume em função apenas do raio \(r\). Portanto, para que o volume seja máximo, é necessário atender a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {dV \over dr} = 0\)


Substituindo a equação \((III)\) na equação anterior, tem-se que:

\(\Longrightarrow {d \over dr}({ A_{total} \over 2} r - \pi r^3) = 0\)

\(\Longrightarrow {A_{total} \over 2} - 3\pi r^2 = 0\)

\(\Longrightarrow 3\pi r^2 = {A_{total} \over 2}\)

\(\Longrightarrow r^2 = {A_{total} \over 2 \cdot 3\pi}\)

\(\Longrightarrow r = \sqrt { {A_{total} \over 6\pi} }\)


Pelo enunciado, a área total do cilindro é \(A_{total} = 60 \space \mathrm {cm^2}\). Portanto, o valor do raio \(r\) que maximiza o volume é:

\(\Longrightarrow r = \sqrt { {60 \over 6\pi} }\)

\(\Longrightarrow r = 1,784 \space \mathrm {cm}\)


Substituindo o valor de \(r\) e \(A_{total}\) na equação \((I)\), o valor da altura \(h\) é:

\(\Longrightarrow h = { A_{total} \over 2\pi r} - r\)

\(\Longrightarrow h = { 60 \over 2\pi \cdot 1,784} - 1,784\)

\(\Longrightarrow h = 3,568 \space \mathrm {cm}\)


Concluindo, para volume máximo, as dimensões do cilindro circular reto são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} r = 1,784 \space \mathrm {cm} \\ h = 3,568 \space \mathrm {cm} \end{matrix} \right. $}\)

A área da base de um cilindro de raio \(r\) é dada pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow A_{base} = \pi r^2\)


A área lateral de um cilindro de raio \(r\) e altura \(h\) é dada pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow A_{lat} = 2\pi rh\)


Portanto, a área total de um cilindro é dada pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow A_{total} = 2A_{base} + A_{lat}\)

\(\Longrightarrow A_{total} = 2\pi r^2 + 2\pi r h\)


Isolando a altura \(h\) na equação anterior, tem-se que:

\(\Longrightarrow A_{total} = 2\pi r(r+h)\)

\(\Longrightarrow (r+h) = { A_{total} \over 2\pi r}\)

\(\Longrightarrow h = { A_{total} \over 2\pi r} - r\)   \((I)\)


O volume de um cilindro é dado pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow V = \pi r^2h\)   \((II)\)


Substituindo a equação \((I)\) na equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow V = \pi r^2 \Big[ { A_{total} \over 2\pi r} - r \Big ]\)

\(\Longrightarrow V = \pi r^2 { A_{total} \over 2\pi r} - \pi r^2 \cdot r\)

\(\Longrightarrow V = { A_{total} \over 2} r - \pi r^3\)    \((III)\)


Agora, temos o volume em função apenas do raio \(r\). Portanto, para que o volume seja máximo, é necessário atender a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {dV \over dr} = 0\)


Substituindo a equação \((III)\) na equação anterior, tem-se que:

\(\Longrightarrow {d \over dr}({ A_{total} \over 2} r - \pi r^3) = 0\)

\(\Longrightarrow {A_{total} \over 2} - 3\pi r^2 = 0\)

\(\Longrightarrow 3\pi r^2 = {A_{total} \over 2}\)

\(\Longrightarrow r^2 = {A_{total} \over 2 \cdot 3\pi}\)

\(\Longrightarrow r = \sqrt { {A_{total} \over 6\pi} }\)


Pelo enunciado, a área total do cilindro é \(A_{total} = 60 \space \mathrm {cm^2}\). Portanto, o valor do raio \(r\) que maximiza o volume é:

\(\Longrightarrow r = \sqrt { {60 \over 6\pi} }\)

\(\Longrightarrow r = 1,784 \space \mathrm {cm}\)


Substituindo o valor de \(r\) e \(A_{total}\) na equação \((I)\), o valor da altura \(h\) é:

\(\Longrightarrow h = { A_{total} \over 2\pi r} - r\)

\(\Longrightarrow h = { 60 \over 2\pi \cdot 1,784} - 1,784\)

\(\Longrightarrow h = 3,568 \space \mathrm {cm}\)


Concluindo, para volume máximo, as dimensões do cilindro circular reto são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} r = 1,784 \space \mathrm {cm} \\ h = 3,568 \space \mathrm {cm} \end{matrix} \right. $}\)

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Miguel

Há mais de um mês

Al=2πrh

Ab=Πr^2

At= Al + 2*Ab

60=2πrh + 2*πr^2  ---> h=(30/(πr))-r

Vcil=Πr^2*h=πr^2*(30/(πr)-r) = 30r-πr^3

V(r)= 30r-πr^3

V'(r)=30-3πr^2=0  --> r=±√(10/π)

V''(r)=-6πr =>V''(√(10/π))= - 6π√(10/π)<0 => Máx em r=√(10/π).

Para r=√(10/π) -->h=(30/π)*(1/√(10/π))-√(10/π)=2*√(10/π)

r=√(10/π) cm; h=2*√(10/π) cm.

Vmáx=V(√(10/π))= 20*√(10/π) cm^3

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Beatriz

Há mais de um mês

pode me ajudar?

 

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