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calcule a equação da reta tangente, utilizando a definição de derivada:

f9x)=3x²+2x-2, em x=1

f(x)=5x²-6x+2, em x=2

f(x)=1/x, em x=2

Cálculo I

ULBRA


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

1.

Se a reta tangente de \(f(x) = 3x^2 + 2x-2\) deve passar por \(x=1\), tem-se que:

\(\Longrightarrow f(x) = 3x^2 + 2x-2\)

\(\Longrightarrow f(x) = 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1-2\)

\(\Longrightarrow f(x) = 3\)

Portanto, a reta tangente deve passar no ponto \((1,3)\).


Para \(f(x) = 3x^2 + 2x-2\), a inclinação da reta tangente é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}={d \over dx}(3x^2 + 2x - 2)\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=6x + 2\)


Para \(x=1\), a inclinação é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=6\cdot 1 + 2\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=8\)


Portanto, a função da reta tangente \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {df(x) \over dx}x+b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = 8x+b\)


Como \(y_{tan}\) passa por \((1,3)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 3= 8\cdot 1+b\)

\(\Longrightarrow b=-5\)


Portanto, para \(f(x) = 3x^2 + 2x-2\), a função completa da reta tangente em \(x=1\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = 8x-5 $}\)


2.

Se a reta tangente de \(f(x) = 5x^2 -6x+2\) deve passar por \(x=2\), tem-se que:

\(\Longrightarrow f(x) = 5x^2 -6x+2\)

\(\Longrightarrow f(x) = 5\cdot 2^2 -6\cdot 2+2\)

\(\Longrightarrow f(x) = 20 -12+2\)

\(\Longrightarrow f(x) =10\)

Portanto, a reta tangente deve passar no ponto \((2,10)\).


Para \(f(x) = 5x^2 -6x+2\), a inclinação da reta tangente é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}={d \over dx}(5x^2 -6x+2)\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=10x -6\)


Para \(x=2\), a inclinação é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=10\cdot 2 -6\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=14\)


Portanto, a função da reta tangente \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {df(x) \over dx}x+b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = 14x+b\)


Como \(y_{tan}\) passa por \((2,10)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 10 = 14\cdot 2+b\)

\(\Longrightarrow b=-18\)


Portanto, para \(f(x) = 5x^2 -6x+2\), a função completa da reta tangente em \(x=2\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = 14x-18 $}\)


3.

Se a reta tangente de \(f(x) ={1 \over x}\) deve passar por \(x=2\), tem-se que:

\(\Longrightarrow f(x) = {1 \over x}\)

\(\Longrightarrow f(x) = {1 \over 2}\)

Portanto, a reta tangente deve passar no ponto \((2,{1 \over 2})\).


Para \(f(x) = {1 \over 2}\), a inclinação da reta tangente é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}={d \over dx}({1 \over x})\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}={d \over dx}(x^{-1})\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=-x^{-2}\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=-{1 \over x^2}\)


Para \(x=2\), a inclinação é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=-{1 \over 2^2}\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=-{1 \over 4}\)


Portanto, a função da reta tangente \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {df(x) \over dx}x+b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = -{1 \over 4}x+b\)


Como \(y_{tan}\) passa por \((2,{1 \over 2})\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow {1 \over 2} = -{1 \over 4}\cdot 2+b\)

\(\Longrightarrow {1 \over 2} = -{1 \over 2}+b\)

\(\Longrightarrow b=1\)


Portanto, para \(f(x) = {1 \over x}\), a função completa da reta tangente em \(x=2\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = -{1 \over 4}x+1 $}\)

1.

Se a reta tangente de \(f(x) = 3x^2 + 2x-2\) deve passar por \(x=1\), tem-se que:

\(\Longrightarrow f(x) = 3x^2 + 2x-2\)

\(\Longrightarrow f(x) = 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1-2\)

\(\Longrightarrow f(x) = 3\)

Portanto, a reta tangente deve passar no ponto \((1,3)\).


Para \(f(x) = 3x^2 + 2x-2\), a inclinação da reta tangente é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}={d \over dx}(3x^2 + 2x - 2)\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=6x + 2\)


Para \(x=1\), a inclinação é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=6\cdot 1 + 2\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=8\)


Portanto, a função da reta tangente \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {df(x) \over dx}x+b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = 8x+b\)


Como \(y_{tan}\) passa por \((1,3)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 3= 8\cdot 1+b\)

\(\Longrightarrow b=-5\)


Portanto, para \(f(x) = 3x^2 + 2x-2\), a função completa da reta tangente em \(x=1\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = 8x-5 $}\)


2.

Se a reta tangente de \(f(x) = 5x^2 -6x+2\) deve passar por \(x=2\), tem-se que:

\(\Longrightarrow f(x) = 5x^2 -6x+2\)

\(\Longrightarrow f(x) = 5\cdot 2^2 -6\cdot 2+2\)

\(\Longrightarrow f(x) = 20 -12+2\)

\(\Longrightarrow f(x) =10\)

Portanto, a reta tangente deve passar no ponto \((2,10)\).


Para \(f(x) = 5x^2 -6x+2\), a inclinação da reta tangente é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}={d \over dx}(5x^2 -6x+2)\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=10x -6\)


Para \(x=2\), a inclinação é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=10\cdot 2 -6\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=14\)


Portanto, a função da reta tangente \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {df(x) \over dx}x+b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = 14x+b\)


Como \(y_{tan}\) passa por \((2,10)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 10 = 14\cdot 2+b\)

\(\Longrightarrow b=-18\)


Portanto, para \(f(x) = 5x^2 -6x+2\), a função completa da reta tangente em \(x=2\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = 14x-18 $}\)


3.

Se a reta tangente de \(f(x) ={1 \over x}\) deve passar por \(x=2\), tem-se que:

\(\Longrightarrow f(x) = {1 \over x}\)

\(\Longrightarrow f(x) = {1 \over 2}\)

Portanto, a reta tangente deve passar no ponto \((2,{1 \over 2})\).


Para \(f(x) = {1 \over 2}\), a inclinação da reta tangente é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}={d \over dx}({1 \over x})\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}={d \over dx}(x^{-1})\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=-x^{-2}\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=-{1 \over x^2}\)


Para \(x=2\), a inclinação é:

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=-{1 \over 2^2}\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx}=-{1 \over 4}\)


Portanto, a função da reta tangente \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {df(x) \over dx}x+b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = -{1 \over 4}x+b\)


Como \(y_{tan}\) passa por \((2,{1 \over 2})\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow {1 \over 2} = -{1 \over 4}\cdot 2+b\)

\(\Longrightarrow {1 \over 2} = -{1 \over 2}+b\)

\(\Longrightarrow b=1\)


Portanto, para \(f(x) = {1 \over x}\), a função completa da reta tangente em \(x=2\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = -{1 \over 4}x+1 $}\)

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Estudante PD

Há mais de um mês

Calculamos a “Taxa de variação instantânea” ou seja a “Derivada”.



Para isso vamos usar conceitos de “Limites”, onde:



lim Δx→0 [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx



Como Δx tende à 0, não podemos substituir “direto”, pois “não há divisão por 0 ”.



Então a ideia principal, é “isolar” o Δx no numerador para que possamos “cortar” como o Δx do denominador.



Equação 1) f(x) = 3x² + 2x - 2



Para o termo f(x + Δx), todo x da Equação 1 vamos substituir por x + Δx.
Para o termo f(x), vamos apenas copiar a Equação 1
Para o termo na Equação 1 que não acompanha o x, apenas copiamos.
Nossa variavél alvo é Δx, não podemos ter divisão por 0.



Aplicando: lim Δx→0 [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

 



lim Δx→0 { [ 3(x + Δx)² + 2(x + Δx) - 2 ] - (3x² + 2x - 2) } / Δx



Resolvendo a Exponenciação, a Distributiva e agrupando os termos comuns, temos:



lim Δx→0 [ 6xΔx + 3(Δx)² + 2Δx ] / Δx



Colocando o Δx em evidência no numerador temos:



lim Δx→0 [ Δx (6x+ 3Δx + 2 ] / Δx



“Cortamos” o Δx no numerador como o Δx do denominador:



lim Δx→0 ( 6x+ 3Δx + 2 )



Aplicamos o Limite, substituindo Δx por 0:



lim Δx→0 ( 6x+ 3*0 + 2 )



Resultado: f(x)’ = 6x + 2



Quando substituirmos x por 1, encontramos o coeficiente angular da reta tangente:



f(1)’ = 6 * 1 + 2 = 8



Para encontrar a coordenada y do ponto onde x = 1, vamos substituir x por 1 na Equação 1:



f(x) = 3x² + 2x - 2
f(1) = 3* 1² + 2*1 - 2
f(1) = 3, f(x) = y = 3



Agora temos o ponto(1,3) e o coeficiente angular da reta que é 8.

 

Para encontrarmos a Equação da Reta Tangente vamos aplicar a Equação Fundamental da Reta: y - y• = m ( x - x• ), onde y• é a coordenada y do ponto, x• é a coordenada x do ponto e m é o coeficiente angular da reta:



y• = 3
x• = 1
m = 8

 


y - 3 = 8 (x - 1)
y = 8x - 8 + 3
y = 8x - 5


Então, a Equação da Reta Tangente que passa pelo ponto (1,3) é y = 8x - 5


Equação 2) f(x) = 5x² - 6x + 2

 


Como x = 2, vamos substituir na função para encontrarmos y:

 


f(x) = 5x² - 6x + 2
f(x) = 5*2² - 6*2 + 2
f(x) = 10, f(x) = y = 10


Logo temos o ponto(2,10) no qual a Reta Tangente intercepta

 

Vamos Calcular a “Taxa de variação instantânea”:

 


lim Δx→0 [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

 


lim Δx→0 { [ 5(x + Δx)² - 6(x + Δx) + 2] - ( 5x² - 6x + 2 ) } / Δx

 


Resolvendo Exponenciação, Distributiva, agrupando termos comuns, evidenciando Δx e Calculando o Limite, temos:

 


f(x)’ = 10x - 6

 


Calculando o coeficiente angular da Reta Tangente, substituindo x por 2:

 


f(x)’ = 10*2 - 6 = 14

 


Calculando a Equanção da Reta Tangente:

 


y - 10 = 14 (x - 2)
y = 14x - 28 + 10
y = 14x - 18

 


Então, a Equação da Reta Tangente que passa pelo ponto (2,10) é y = 14x - 18

 


Equação 3) f(x) = 1/x

 


Para x = 2, y = 1/2

 


Temos o ponto (2, 1/2)

 


Taxa de variação instantânea,

 


lim Δx→0 [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

 


lim Δx→0 { [ 1/ (x + Δx) ] - (1/x) } / Δx

 


Seguindo os mesmos passos anteriormente, temos:

 

f(x)’ = -1 / x²

 

 

Coeficiente angular:

 

-1 / 2² = -1 / 4

 

Equação da Reta Tangente:

 


y - 1/2 = (-1/4) * ( x - 2)

y = (-1/4)x + (1/2) + (1/2)

y = (-1/4)x + 1 ou y = -0,25x + 1

 


Então, a Equação da Reta Tangente que passa pelo ponto (2,1/2) é y = -0,25x + 1

 


Se tiver dificuldade, deixe um comentário ou envie um email para ufgdfisica@gmail.com, será um prazer te ajudar. Abraço, bons estudos.

 

att.,

Jansen Barros

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Leandro Rufino

Há mais de um mês

f(x)= 3x² + 2x - 2     Primeiro passo agente deriva a função;

f'(x)= 6x + 2             Segundo passo substituimos pelo valor dado de x no caso  X=1

f'(1)= 6.(1) + 2

f'(1)= 8                     Resultado da fução é 8.

 

f(x)= 5x² - 6x +2       Seguindo os passos temos;

f'(x)= 10x - 6             Para x=2 temos;

f'(2)= 10.(2) - 6

f'(2)= 8 - 6

f'(2)= 2                       Resultado da função é 2.

 

 

f(x)= 1/x               Nesse caso temos que redefinir a função trazendo o X para a parte de

f(x)= x-¹ / 1           cima da função, lembrando que ele sobe com o expoente negativo!

f(x)= x-¹

f'(x)= -1x                Agora derivamos e logo após substituimos pelo valor dado de X.

f'(x)= -x

f'(2)=-(2)               Para x=2;

f'(2)= -2               Resultado da função é -2.

 

Espero ter ajudado, um grande abraço.

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MARIANA DE OLIVEIRA VIEGAS

Há mais de um mês

Obrigada Leandro, mas eu não posso resolve-las pela derivada e sim pela definição de derivada, que no caso seria f(x)= f(x)- F(x0)/ x-x0

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas