calcule a equação da reta tangente, utilizando a definição de derivada:

Calculamos a “Taxa de variação instantânea” ou seja a “Derivada”.

Para isso vamos usar conceitos de “Limites”, onde:

lim Δx→0 [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

Como Δx tende à 0, não podemos substituir “direto”, pois “não há divisão por 0 ”.

Então a ideia principal, é “isolar” o Δx no numerador para que possamos “cortar” como o Δx do denominador.

Equação 1) f(x) = 3x² + 2x - 2

Para o termo f(x + Δx), todo x da Equação 1 vamos substituir por x + Δx.
Para o termo f(x), vamos apenas copiar a Equação 1
Para o termo na Equação 1 que não acompanha o x, apenas copiamos.
Nossa variavél alvo é Δx, não podemos ter divisão por 0.

Aplicando: lim Δx→0 [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

lim Δx→0 { [ 3(x + Δx)² + 2(x + Δx) - 2 ] - (3x² + 2x - 2) } / Δx

Resolvendo a Exponenciação, a Distributiva e agrupando os termos comuns, temos:

lim Δx→0 [ 6xΔx + 3(Δx)² + 2Δx ] / Δx

Colocando o Δx em evidência no numerador temos:

lim Δx→0 [ Δx (6x+ 3Δx + 2 ] / Δx

“Cortamos” o Δx no numerador como o Δx do denominador:

lim Δx→0 ( 6x+ 3Δx + 2 )

Aplicamos o Limite, substituindo Δx por 0:

lim Δx→0 ( 6x+ 3*0 + 2 )

Resultado: f(x)’ = 6x + 2

Quando substituirmos x por 1, encontramos o coeficiente angular da reta tangente:

f(1)’ = 6 * 1 + 2 = 8

Para encontrar a coordenada y do ponto onde x = 1, vamos substituir x por 1 na Equação 1:

f(x) = 3x² + 2x - 2
f(1) = 3* 1² + 2*1 - 2
f(1) = 3, f(x) = y = 3

Agora temos o ponto(1,3) e o coeficiente angular da reta que é 8.

Para encontrarmos a Equação da Reta Tangente vamos aplicar a Equação Fundamental da Reta: y - y• = m ( x - x• ), onde y• é a coordenada y do ponto, x• é a coordenada x do ponto e m é o coeficiente angular da reta:

y• = 3
x• = 1
m = 8

y - 3 = 8 (x - 1)
y = 8x - 8 + 3
y = 8x - 5


Então, a Equação da Reta Tangente que passa pelo ponto (1,3) é y = 8x - 5

Equação 2) f(x) = 5x² - 6x + 2

Como x = 2, vamos substituir na função para encontrarmos y:

f(x) = 5x² - 6x + 2
f(x) = 5*2² - 6*2 + 2
f(x) = 10, f(x) = y = 10

Logo temos o ponto(2,10) no qual a Reta Tangente intercepta

Vamos Calcular a “Taxa de variação instantânea”:

lim Δx→0 [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

lim Δx→0 { [ 5(x + Δx)² - 6(x + Δx) + 2] - ( 5x² - 6x + 2 ) } / Δx

Resolvendo Exponenciação, Distributiva, agrupando termos comuns, evidenciando Δx e Calculando o Limite, temos:

f(x)’ = 10x - 6

Calculando o coeficiente angular da Reta Tangente, substituindo x por 2:

f(x)’ = 10*2 - 6 = 14

Calculando a Equanção da Reta Tangente:

y - 10 = 14 (x - 2)
y = 14x - 28 + 10
y = 14x - 18

Então, a Equação da Reta Tangente que passa pelo ponto (2,10) é y = 14x - 18

Equação 3) f(x) = 1/x

Para x = 2, y = 1/2

Temos o ponto (2, 1/2)

Taxa de variação instantânea,

lim Δx→0 [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

lim Δx→0 { [ 1/ (x + Δx) ] - (1/x) } / Δx

Seguindo os mesmos passos anteriormente, temos:

f(x)’ = -1 / x²

Coeficiente angular:

-1 / 2² = -1 / 4

Equação da Reta Tangente:

y - 1/2 = (-1/4) * ( x - 2)

y = (-1/4)x + (1/2) + (1/2)

y = (-1/4)x + 1 ou y = -0,25x + 1

Então, a Equação da Reta Tangente que passa pelo ponto (2,1/2) é y = -0,25x + 1

Se tiver dificuldade, deixe um comentário ou envie um email para ufgdfisica@gmail.com, será um prazer te ajudar. Abraço, bons estudos.

att.,

Jansen Barros

f(x)= 3x² + 2x - 2     Primeiro passo agente deriva a função;

f'(x)= 6x + 2             Segundo passo substituimos pelo valor dado de x no caso  X=1

f'(1)= 6.(1) + 2

f'(1)= 8                     Resultado da fução é 8.

f(x)= 5x² - 6x +2       Seguindo os passos temos;

f'(x)= 10x - 6             Para x=2 temos;

f'(2)= 10.(2) - 6

f'(2)= 8 - 6

f'(2)= 2                       Resultado da função é 2.

f(x)= 1/x               Nesse caso temos que redefinir a função trazendo o X para a parte de

f(x)= x-¹ / 1           cima da função, lembrando que ele sobe com o expoente negativo!

f(x)= x-¹

f'(x)= -1x                Agora derivamos e logo após substituimos pelo valor dado de X.

f'(x)= -x

f'(2)=-(2)               Para x=2;

f'(2)= -2               Resultado da função é -2.

Espero ter ajudado, um grande abraço.

Obrigada Leandro, mas eu não posso resolve-las pela derivada e sim pela definição de derivada, que no caso seria f(x)= f(x)- F(x0)/ x-x0