Otimização

Devemos encontrar o raio e a altura do cilindro e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & A=2\pi rh \\ & 50=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}} \\ & 25=\pi rh+\pi {{r}^{2}} \\ & h=\frac{25-\pi {{r}^{2}}}{\pi r} \\ & \\ & V=\pi {{r}^{2}}h \\ & V=r(25-\pi {{r}^{2}}) \\ & V=25r-\pi {{r}^{3}} \\ & V'=25-3\pi {{\pi }^{2}} \\ & \\ & r=1,66cm \\ & \\ & h=3,32cm \\ \end{align}\ \)

Portanto, o raio e a altura serão respectivamente \(\boxed{r = 1,66{\text{ cm e }}h = 3,32{\text{ cm}}}\).

área total = 2.área círculo + área lateral 

área círculo = pi.r² 

área lateral = 2.pi.r.h 

50 = 2.pi.r² + 2.pi.r.h 

25 = pi.r² + pi.r.h --> h= (25-pi.r²)/pi.r 


volume = pi.r².h 

volume= pi.r².(25- pi.r²)/pi.r = r.(25 - pi.r²) = 25r - pi.r³ 

volume será máximo , derivada =0 e segunda derivada for < 0 

v'= 25 - 3.pi.r² =0 --> r= +- 1,628 

v''= -6.pi.r , v'' < 0 para r= + 1,628 


volume será máximo para raio r=1,628cm e h=3,258 cm