Use o Teorema do Valor Médio para provar a desigualdade e^a − e^b ≤ e^a(a − b) para todos a,b ∈ R.

Primeiramente, e^x é uma função estritamente crescente em R. Deste modo, para todos a,b,c ∈ R tais que a≤ c ≤b, tem-se que:

e^a ≤ e^c ≤ e^b. (1)

Segue também que e^x é derivável em R. Dado um intervalo da reta [a,b], pelo teorema do valor médio, tem-se que existe um c ∈ (a,b) tal que:

(e^b - e^a)/(b-a) = e^c ⇒ e^b - e^a = e^c(b -a) ⇒ e^a - e^b = e^c(a -b) (2).

Nota: decorre do fato de d/dx[e^x] = e^x.

Como b>a, então b-a>0. Logo por (1):

e^a(b-a) ≤ e^c(b-a) ⇒ e^c(a-b) ≤ e^a(a-b). Logo por (2) tem-se que:

e^a - e^b = e^c(a -b) ≤ e^a( a-b) para todos a,b ∈ R, como queríamos demonstrar.