Exercício 10 (Desigualdade Triangular). Mostre que a seguinte desigualdade vale par todo x, y ∈ R: |x+ y| ≤ |x|+ |y|. Para todo x, y ∈ R, vale a ...

Para provar que a desigualdade triangular é verdadeira, podemos usar a definição de valor absoluto: |x| = { x, se x ≥ 0 -x, se x < 0 Então, temos: |x + y| = { x + y, se x + y ≥ 0 -(x + y), se x + y < 0 |x| + |y| = { x + y, se x ≥ 0 e y ≥ 0 -x + y, se x < 0 e y ≥ 0 x - y, se x ≥ 0 e y < 0 -x - y, se x < 0 e y < 0 Agora, vamos analisar cada caso: Caso 1: x + y ≥ 0 e x ≥ 0 e y ≥ 0 Nesse caso, temos: |x + y| = x + y |x| + |y| = x + y Como x + y ≥ 0, a desigualdade é verdadeira. Caso 2: x + y ≥ 0 e x < 0 e y ≥ 0 Nesse caso, temos: |x + y| = x + y |x| + |y| = -x + y Como x + y ≥ 0 e -x + y ≥ 0, a desigualdade é verdadeira. Caso 3: x + y ≥ 0 e x ≥ 0 e y < 0 Nesse caso, temos: |x + y| = x + y |x| + |y| = x - y Como x + y ≥ 0 e x - y ≥ 0, a desigualdade é verdadeira. Caso 4: x + y ≥ 0 e x < 0 e y < 0 Nesse caso, temos: |x + y| = x + y |x| + |y| = -x - y Como x + y ≥ 0 e -x - y ≥ 0, a desigualdade é verdadeira. Caso 5: x + y < 0 e x ≥ 0 e y ≥ 0 Nesse caso, temos: |x + y| = -(x + y) |x| + |y| = x + y Como -(x + y) ≤ x + y, a desigualdade é verdadeira. Caso 6: x + y < 0 e x < 0 e y ≥ 0 Nesse caso, temos: |x + y| = -(x + y) |x| + |y| = -x + y Como -(x + y) ≤ -x + y, a desigualdade é verdadeira. Caso 7: x + y < 0 e x ≥ 0 e y < 0 Nesse caso, temos: |x + y| = -(x + y) |x| + |y| = x - y Como -(x + y) ≤ x - y, a desigualdade é verdadeira. Caso 8: x + y < 0 e x < 0 e y < 0 Nesse caso, temos: |x + y| = -(x + y) |x| + |y| = -x - y Como -(x + y) ≤ -x - y, a desigualdade é verdadeira. Portanto, a desigualdade triangular é verdadeira para todo x, y ∈ R.