Dados os vetores u=(2,-4) e v=(-5,1), determinar o vetor x tal que: 2(u-v)+1/3 x = 3u-x.

Pode-se determinar o vetor x separadamente em relação eixo x e y: 

○Eixo x: 
2 [2 - (-5)] + 1/3 Xx = 3 . 2 - Xx 
14 + 1/3 Xx = 6 - Xx 
4/3 Xx = -8 
Xx = -6 

○Eixo y: 
2 [(-4) - 1] + 1/3 Xy = 3 . (-4) - Xy 
-10 + 1/3 Xy = -12 - Xy 
4/3 Xy = -2 
Xy = -1,5 

Portanto, o vetor x é representado por (-6; -1,5).

Neste exercício, será determinado o vetor \(x = (x_i;x_j)\), sendo \(x_i\) e \(x_j\) as componentes horizontal e vertical do vetor \(x\), respectivamente. Para isso, será utilizada a equação do enunciado, conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow 2(u-v) + {1 \over 3}x = 3u-x\)

Multiplicando a equação anterior por 3, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow 3 \cdot 2(u-v) + 3 \cdot {1 \over 3}x = 3 \cdot 3u-3x\)

\(\Longrightarrow 6(u-v) + x = 9u-3x\)

\(\Longrightarrow 6u-6v + x = 9u-3x\)

Isolando o vetor \(x\) na equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow x +3x= 9u - 6u+6v\)

\(\Longrightarrow 4x= 3u+6v\)

\(\Longrightarrow x= {3 \over 4}u+{3 \over 2}v\)

Substituindo \(u = (2;-4)\), \(v = (-5;1)\) e \(x = (x_i;x_j)\) na equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (x_i;x_j)= {3 \over 4}(2;-4)+{3 \over 2}(-5;1)\)

\(\Longrightarrow (x_i;x_j)= ({3 \over 4}\cdot 2;-{3 \over 4} \cdot 4)+(-{3 \over 2} \cdot 5;{3 \over 2} \cdot 1)\)

\(\Longrightarrow (x_i;x_j)= ({3 \over 2};-3)+(-{15 \over 2} ;{3 \over 2})\)

\(\Longrightarrow (x_i;x_j)= \Big ({3 \over 2} -{15 \over 2} ;-3 + {3 \over 2} \Big )\)

\(\Longrightarrow (x_i;x_j)= \Big ( -{12 \over 2} ;-{6 \over 2} + {3 \over 2} \Big )\)

\(\Longrightarrow (x_i;x_j)= \Big ( -6 ;-{3 \over 2} \Big )\)

Portanto, o vetor \(x\) é:

\(\Longrightarrow x = (x_i;x_j)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ x = \Big (-6;-{3 \over 2} \Big ) $}\)