Como definir o domínio e a imagem da seguinte função?

2 / x²-1 + 1/x+1 = 1 mmc de x²-1 e x+1= (x+1)(x-1)
(2+ x-1 = (x+1)(x-1)/(x+1)(x-1)
2+x-1 =(x+1)(x-1)
2 +x -1= x² -x +x -1
-x² +x +x-x  +2 +1-1=0
-x² +2x -x +3-1=0
-x² +x +2=0(-1)
+x² -x -2=0
Resolvendo equação do segundo grau:
a= 1   b= -1  c= -2
▲= b² -4.a.c= (-1)² -4.1.(-2)= +1 +8=9

x= (-b±√▲)/2.1
x= (-(-1) ±√9)/2
x= (+1 ± 3)/2
x'=(1+3)/2= 4/2=2
x"=(1-3)/2= -2/2=-1

Solução: 2 e -1

Nesse exercício vamos estudar domínio e imagem de funções.

Vamos estudar a seguinte função:

$$f(x)={1\over x+1}-\sqrt{-(x^2-1)^2}$$

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. Nesse caso temos a variável em um denominador (que deve ser não nulo) e em um radical (que deve ser não negativo):

$$\begin{cases}x+1\neq0 &\Rightarrow x\neq-1\\-(x^2-1)^2\geq0&\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x\in\{-1;1\}\end{cases}\Rightarrow D=\{1\}$$

Temos apenas um elemento no domínio, o que nos dá apenas um elemento na imagem:

$$I=\{f(1)\}=\left\{{1\over 1+1}-\sqrt{-(1^2-1)^2}\right\}=\left\{{1\over2}\right\}$$

Temos, portanto:

$$\boxed{ D=\{1\}},\ \boxed{I=\left\{{1\over2}\right\}}$$

Nesse exercício vamos estudar domínio e imagem de funções.

Vamos estudar a seguinte função:

$$f(x)={1\over x+1}-\sqrt{-(x^2-1)^2}$$

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. Nesse caso temos a variável em um denominador (que deve ser não nulo) e em um radical (que deve ser não negativo):

$$\begin{cases}x+1\neq0 &\Rightarrow x\neq-1\\-(x^2-1)^2\geq0&\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x\in\{-1;1\}\end{cases}\Rightarrow D=\{1\}$$

Temos apenas um elemento no domínio, o que nos dá apenas um elemento na imagem:

$$I=\{f(1)\}=\left\{{1\over 1+1}-\sqrt{-(1^2-1)^2}\right\}=\left\{{1\over2}\right\}$$

Temos, portanto:

$$\boxed{ D=\{1\}},\ \boxed{I=\left\{{1\over2}\right\}}$$