Eletricidade Aplicada

Bom dia Jussara. Primeiramente encontre a expressão matematica para essa situação, pode ser encontrado facilmente em qualquer livro de física basica. Com a expressão matematica em mãos, encontre a derivada primeira e iguale a zero (dE/dr=0). agora isole o r (distancia do centro do anel). 

Nest exercício, será determinado o ponto no qual o campo elétrico de um anel é máximo. Para isso, será utilizada a equação geral do campo elétrico, conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow d \overrightarrow E = {1 \over 4 \pi \epsilon_0}{dQ \over r^2} \overrightarrow r\)

As variáveis são: variação do campo elétrico \(d \overrightarrow E\), permissividade do vácuo \(\epsilon_0\), variação da carga \(dQ\), distância \(r\) da fonte de campo e sentido \(\overrightarrow r\) do campo.

A imagem que será utilizada como base para este exercício está apresentada  seguir:

Vamos considerar que o ponto de campo elétrico máximo é o ponto \(P\). Tem-se que \(a\) é o raio do anel, \(x\) é a distância do ponto \(P\) até o centro do anel e que \(r\) é a distância do ponto \(P\) até um ponto do anel. É possível ver que essas distâncias formam um triângulo retângulo, sendo \(r\) a hipotenusa. Portanto, pode-se escrever a seguinte equação:

\(\Longrightarrow r^2 = {x^2+a^2}\)    \((I)\)

\(\Longrightarrow r = \sqrt{x^2+a^2}\)

Sendo \(\alpha\) o ângulo formado por \(x\) e \(r\), pode-se escrever a seguinte equação:

\(\Longrightarrow \cos \alpha = {x \over r}\)

\(\Longrightarrow \cos \alpha = {x \over \sqrt{x^2+a^2}}\)     \((II)\)

Neste exercício, será considerado que a distância \(x\) do ponto \(P\) até o centro do anel está contido no eixo x. Portanto, analisando o eixo y, é possível perceber que o campo elétrico resultante é igual a \(dE_y=0\), porque a contribuição total gerada por dois segmentos infinitesimais \(ds\) localizados em duas extremidades do anel será igual a zero.

Agora, será analisado as contribuições do campo no eixo x. A equação do campo \(dE_x\) é:

\(\Longrightarrow dE_x=dE \cdot \cos \alpha\)

\(\Longrightarrow dE_x={1 \over 4 \pi \epsilon_0}{dQ \over r^2} \cdot \cos \alpha\)

Substituindo as equações \((I)\) e \((II)\) na equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow dE_x={1 \over 4 \pi \epsilon_0}{dQ \over x^2+a^2} \cdot {x \over \sqrt{x^2+a^2}}\)

\(\Longrightarrow dE_x={1 \over 4 \pi \epsilon_0}{x \space dQ \over (x^2+a^2)^{3/2}}\)

Analisando todos os segmentos infinitesimais \(ds\) do anel, é possível ver que a distância \(x\) não varia. Portanto, ao integrar os dois lados da equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow E_x={1 \over 4 \pi \epsilon_0}{x \space Q \over (x^2+a^2)^{3/2}}\)

Com isso, a equação do vetor campo elétrico \( \overrightarrow E \) é:

\(\Longrightarrow \overrightarrow E = (E_x)î\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow E = {1 \over 4 \pi \epsilon_0}{x \space Q \over (x^2+a^2)^{3/2}}î\)

Agora que a equação de \( \overrightarrow E \) é conhecida, há condições para descobrir o valor de \(x\) que maximiza o campo elétrico no ponto \(P\). Para isso, será necessário utilizar a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {d \overrightarrow E \over dx} =0\)

Portanto, a derivada de \( \overrightarrow E \) é:

\(\Longrightarrow {d \overrightarrow E \over dx} ={d \over dx} \bigg[ {1 \over 4 \pi \epsilon_0}{x \space Q \over (x^2+a^2)^{3/2}} \bigg ]\)

\(\Longrightarrow {d \overrightarrow E \over dx} ={Q \over 4 \pi \epsilon_0}{d \over dx} \bigg[ {x \over (x^2+a^2)^{3/2}} \bigg ]\)

Aplicando a derivada de divisão, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {d \overrightarrow E \over dx} ={Q \over 4 \pi \epsilon_0} {x^{'}(x^2+a^2)^{3/2}-x \Big [(x^2+a^2)^{3/2} \Big]^{'} \over \Big [(x^2+a^2)^{3/2}\Big ]^2} \)

\(\Longrightarrow {d \overrightarrow E \over dx} ={Q \over 4 \pi \epsilon_0} {(x^2+a^2)^{3/2}-x{3 \over 2} (x^2+a^2)^{1/2}(x^2+a^2)^{'} \over (x^2+a^2)^3} \)

\(\Longrightarrow {d \overrightarrow E \over dx} ={Q \over 4 \pi \epsilon_0} {(x^2+a^2)^{3/2}-{3 \over 2}x (x^2+a^2)^{1/2}2x \over (x^2+a^2)^3} \)

\(\Longrightarrow {d \overrightarrow E \over dx} ={Q \over 4 \pi \epsilon_0} {(x^2+a^2)^{3/2}-3x^2 (x^2+a^2)^{1/2} \over (x^2+a^2)^3} \)

Igualando a equação anterior a zero, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow 0 ={Q \over 4 \pi \epsilon_0} {(x^2+a^2)^{3/2}-3x^2 (x^2+a^2)^{1/2} \over (x^2+a^2)^3} \)

Como o denominador não pode ser zero, o valor da distância \(x\) é:

\(\Longrightarrow 0 = (x^2+a^2)^{3/2}-3x^2 (x^2+a^2)^{1/2}\)

\(\Longrightarrow 3x^2 (x^2+a^2)^{1/2} = (x^2+a^2)^{3/2}\)

\(\Longrightarrow 3x^2 = {(x^2+a^2)^{3/2} \over (x^2+a^2)^{1/2}}\)

\(\Longrightarrow 3x^2 = x^2+a^2\)

\(\Longrightarrow 2x^2 = a^2\)

\(\Longrightarrow x^2 = {a^2 \over 2}\)

\(\Longrightarrow x = {a \over \sqrt 2}\)

Finalmente, para campo elétrico máximo, a distância do centro do anel deve ser de:

\(\Longrightarrow x = {2,4 \over \sqrt 2}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ x = 1,697 \space \mathrm {cm} $}\)