Questão de física 1 (momento linear)

Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre momento linear, dado pela seguinte equação:

\(\rightarrow \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}\)

a)

O primeiro caso diz que a pessoa pegou a bola. Para encontrar a velocidade do conjunto pessoa+bola, é necessário achar o momento linear antes da colisão (\(\overrightarrow{p_{1}}\)) através da seguinte equação:

\(\rightarrow \overrightarrow{p_{1}}=m_{b}\overrightarrow{v_{b,1}}\)

Será adotado como sentido positivo o sentido do lançamento da bola.

Sendo \(m_{b}=420 \space \mathrm {g}=0,42 \space \mathrm {kg}\) a massa da bola e \(\overrightarrow{v_{b,1}}=15 \space \mathrm {m/s}\) a velocidade da bola antes da colisão, o valor de \(\overrightarrow{p_{1}}\) é:

\(\rightarrow \overrightarrow{p_{1}}=m_{b}\overrightarrow{v_{b,1}}\)

\(\rightarrow \overrightarrow{p_{1}}=0,42*15\)

\(\rightarrow \overrightarrow{p_{1}}=6,3 \space \mathrm {kg \cdot m/s}\)

Pela conservação do momento linear, o momento linear antes da colisão (\(\overrightarrow{p_{1}}\)) deve ser igual ao momento linear após a colisão (\(\overrightarrow{p_{2}}\)). Ou seja:

\(\rightarrow \overrightarrow{p_{1}}=\overrightarrow{p_{2}}\)

Sendo \(m_{p}=55 \space \mathrm {kg}\) a massa da pessoa e \(\overrightarrow {v_{p,b}}\) a velocidade do conjunto pessoa+bola, o valor de \(\overrightarrow {v_{p,b}}\) é:

\(\rightarrow \overrightarrow{p_{1}}=\overrightarrow{p_{2}}\)

\(\rightarrow 6,3=(m_{p}+m_{b})\overrightarrow{ v_{p,b}}\)

\(\rightarrow 6,3=(55+0,42)\overrightarrow {v_{p,b}}\)

\(\rightarrow \fbox{$\overrightarrow {v_{p,b}}=0,114 \space \mathrm {m/s}$}\)

Como \(\overrightarrow {v_{p,b}}\) está no mesmo sentido do lançamento da bola, o seu valor deve ser positivo, conforme o sentido adotado no exercício.

b)

Agora, o segundo caso diz que a bola bateu na pessoa e foi para o lado oposto. Para calcular a velocidade \(\overrightarrow {v_{p,2}}\) da pessoa nesse caso, será novamente utilizada a equação de conservação do momento linear. Essa equação está apresentada a seguir:

\(\rightarrow \overrightarrow{p_{1}}=\overrightarrow{p_{2}}\)

O valor de \(\overrightarrow{p_{1}}\) ainda é \(6,3 \space \mathrm {kg \cdot m/s}\).

Além disso, conforme o enunciado, a velocidade da bola após a colisão é igual a \(\overrightarrow {v_{b,2}}=-12 \space \mathrm {m/s}\). Esse sinal negativo está presente porque a bola inverte de sentido após a colisão.

Substituindo os valores conhecidos, o valor de \(\overrightarrow {v_{p,2}}\) é:

\(\rightarrow \overrightarrow{p_{1}}=\overrightarrow{p_{2}}\)

\(\rightarrow 6,3=m_p \overrightarrow {v_{p,2}}+m_b \overrightarrow {v_{b,2}}\)

\(\rightarrow 6,3=55 \overrightarrow{v_{p,2}}+0,42*(-12)\)

\(\rightarrow 55 \overrightarrow{v_{p,2}}=6,3+0,42*12\)

\(\rightarrow \fbox{$ \overrightarrow{v_{p,2}}=0,206 \space \mathrm {m/s}$}\)

Como \(\overrightarrow {v_{p,2}}\) está no mesmo sentido do lançamento da bola, o seu valor deve ser positivo, conforme o sentido adotado no exercício.

c)

Agora, será calculada a variação da energia cinética do caso da letra b). Isso será feito através da seguinte fórmula:

\(\rightarrow K={mv^2 / 2}\)

Sendo \(K_1\) a energia cinética total antes da colisão, seu valor é:

\(\rightarrow K_1={m_bv_{b,1}^2 / 2}+{m_pv_{p,1}^2 / 2}\)

\(\rightarrow K_1={0,42*15^2 / 2}+{55*0^2 / 2}\)

\(\rightarrow K_1=47,25 \space \mathrm J\)

Sendo \(K_2\) a energia cinética total após a colisão, seu valor é:

\(\rightarrow K_2={m_bv_{b,2}^2 / 2}+{m_pv_{p,2}^2 / 2}\)

\(\rightarrow K_2={0,42*(-12)^2 / 2}+{55*0,206^2 / 2}\)

\(\rightarrow K_2=31,41 \space \mathrm J\)

Finalmente, a variação da energia cinética é:

\(\rightarrow \Delta K=K_2-K_1\)

\(\rightarrow \Delta K=31,41-47,25\)

\(\rightarrow \Delta K=-15,84 \space \mathrm J\)

Concluindo, após a colisão, a variação da energia cinética foi de \(\fbox{$\Delta K=-15,84 \space \mathrm J$}\), ou seja, houve perda de energia cinética.