como resolver a integral trigonométricas de sen^7 (5x) cos^2 (5x) dx

Existe um site chamado Wolfram Alpha, nele que eu consigo resolver meus problemas de cálculo. Espero ter ajudado.

Neste exercício, será resolvida a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int \sin^7(5x) \cos^2(5x) \space dx\)    \((I)\)

Para isso, será utilizado o método da substituição. Sendo \(u=\cos(5x)\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {du \over dx}={d \over dx}\cos(5x)\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}=-\sin(5x){d \over dx}(5x)\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}=-5\sin(5x)\)

\(\Longrightarrow {du}=-5\sin(5x) \space dx\)

É possível manipular a expressão \((I)\) da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int \sin^7(5x) \cos^2(5x) \space dx\)

\(\Longrightarrow \int \sin^6(5x) \cos^2(5x) \Big [ \sin(5x) \space dx \Big ]\)

\(\Longrightarrow -{1 \over 5}\int \Big [\sin^2(5x) \Big ]^3 \cos^2(5x) \Big [-5 \sin(5x) \space dx \Big ]\)

\(\Longrightarrow -{1 \over 5}\int \Big [1 - \cos^2(5x) \Big ]^3 \cos^2(5x) \Big [-5 \sin(5x) \space dx \Big ]\)

Mudando da variável \(x\) para a variável \(u\), a expressão anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow -{1 \over 5}\int \Big [1 - u^2 \Big ]^3 u^2\Big [du \Big ]\)

\(\Longrightarrow -{1 \over 5}\int \Big [1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6 \Big ] u^2 \space du\)

\(\Longrightarrow -{1 \over 5}\int \Big [u^2 - 3u^4 + 3u^6 - u^8 \Big ] du\)

Realizando a integral da expressão anterior, tem-se a seguinte expressão:

\(\Longrightarrow -{1 \over 5}\Big [{1 \over 3}u^3 - {3 \over 5}u^5 + {3 \over 7}u^7 - {1 \over 9}u^9 \Big ]\)

Agora, na expressão anterior, vamos retornar a variável \(x\) substituindo \(u=\cos(5x)\). A expressão resultante é:

\(\Longrightarrow -{1 \over 5}\Big [{1 \over 3}\cos^3(5x) - {3 \over 5}\cos^5(5x) + {3 \over 7}\cos^7(5x) - {1 \over 9}\cos^9(5x) \Big ]\)

Concluindo, o resultado da integral indefinida \(\int \sin^7(5x) \cos^2(5x) \space dx\) é:

\(\Longrightarrow \fbox{$ \int \sin^7(5x) \cos^2(5x) \space dx = -{1 \over 5}\Big [{1 \over 3}\cos^3(5x) - {3 \over 5}\cos^5(5x) + {3 \over 7}\cos^7(5x) - {1 \over 9}\cos^9(5x) \Big ] $}\)