SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICAS

x=sent    dx=costdt

int(sent/(1-(sent)^2)^(0,5))costdt  >>  int(sent.cost/cost)dt  >>int(sent)dt= -cost + K

1A) Vamos calcular a seguinte integral:

\(I_A=\int{x\over\sqrt{1-x^2}}\ dx\) 

Lembremos da relação funcamental da trigonometria, isto é:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\)

Fazendo \(x=cos\ \theta\Rightarrow dx=-sen\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I_A=-\int{cos\ \theta\over\sqrt{1-cos^2\theta}}\ sen\ \theta d\theta=-\int{cos\ \theta\over\sqrt{sen^2\theta}}\ sen\ \theta d\theta=-\int cos\ \theta\ d\theta\)

Integrando, temos:

\(I_A=C-sen\ \theta=C-\sqrt{1-cos^2\theta}\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{\int{x\over\sqrt{1-x^2}}\ dx=C-\sqrt{1-x^2}}\)

1B) Vamos calcular a seguinte integral:

\(I_B=\int{x\sqrt{4-x^2}}\ dx\)

Fazendo \(x=2sen\ \theta\Rightarrow dx=2cos\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I_B=\int{2sen\ \theta\sqrt{4-4sen^2\theta}}\ 2cos\ \theta\ d\theta=4\int{sen\ \theta\ cos\ \theta\sqrt{4(1-sen^2\theta)}}\ d\theta=8\int{sen\ \theta\ cos^2\theta}\ d\theta\)

Fazendo \(u=cos\ \theta\Rightarrow du=-sen\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I_B=C-8\int{u^2}\ du=-{8\over3}u^3\)

Voltando para a veriável \(\theta\), temos:

\(I_B=C-{8\over3}cos^3\theta=C-{8\over3}(cos^2\theta)^{3/2}=C-{8\over3}(1-sen^2\theta)^{3/2}=C-{1\over3}(4-4sen^2\theta)^{3/2}\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{\int{x\sqrt{4-x^2}}\ dx=C-{1\over3}(4-x^2)^{3/2}}\)

2) Vamos resolver a seguinte equação diferencial:

\({xdx\over\sqrt{1-x^2}}= -{ydy\over\sqrt{1-y^2}}\)

Integrando dos dois lados da equação, cada um em sua respectiva variável, temos:

\(\int{x\over\sqrt{1-x^2}}\ dx= -\int{y\over\sqrt{1-y^2}}\ dy\)

Usando o resultado obtido no item 1A, temos:

\(I_A(x)=-I_A(y)\Rightarrow C_x-\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-y^2}-C_y\)

Fazendo \(C=C_x+C_y\), temos:

\(\boxed{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=C}\)

Com um pouco de álgebra conseguimos escrever \(y \) em função de \(x\):

\(\begin{align} \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}&=C\\ \sqrt{1-y^2}&=C-\sqrt{1-x^2}\\ 1-y^2&=\left(C-\sqrt{1-x^2}\right)^2 \end{align}\)

Finalmente:

\(\boxed{y=\pm\sqrt{1-\left(C-\sqrt{1-x^2}\right)^2}}\)

1A) Vamos calcular a seguinte integral:

\(I_A=\int{x\over\sqrt{1-x^2}}\ dx\)

Lembremos da relação funcamental da trigonometria, isto é:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\)

Fazendo \(x=cos\ \theta\Rightarrow dx=-sen\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I_A=-\int{cos\ \theta\over\sqrt{1-cos^2\theta}}\ sen\ \theta d\theta=-\int{cos\ \theta\over\sqrt{sen^2\theta}}\ sen\ \theta d\theta=-\int cos\ \theta\ d\theta\)

Integrando, temos:

\(I_A=C-sen\ \theta=C-\sqrt{1-cos^2\theta}\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{\int{x\over\sqrt{1-x^2}}\ dx=C-\sqrt{1-x^2}}\)

1B) Vamos calcular a seguinte integral:

\(I_B=\int{x\sqrt{4-x^2}}\ dx\)

Fazendo \(x=2sen\ \theta\Rightarrow dx=2cos\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I_B=\int{2sen\ \theta\sqrt{4-4sen^2\theta}}\ 2cos\ \theta\ d\theta=4\int{sen\ \theta\ cos\ \theta\sqrt{4(1-sen^2\theta)}}\ d\theta=8\int{sen\ \theta\ cos^2\theta}\ d\theta\)

Fazendo \(u=cos\ \theta\Rightarrow du=-sen\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I_B=C-8\int{u^2}\ du=-{8\over3}u^3\)

Voltando para a veriável \(\theta\), temos:

\(I_B=C-{8\over3}cos^3\theta=C-{8\over3}(cos^2\theta)^{3/2}=C-{8\over3}(1-sen^2\theta)^{3/2}=C-{1\over3}(4-4sen^2\theta)^{3/2}\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{\int{x\sqrt{4-x^2}}\ dx=C-{1\over3}(4-x^2)^{3/2}}\)

2) Vamos resolver a seguinte equação diferencial:

\({xdx\over\sqrt{1-x^2}}= -{ydy\over\sqrt{1-y^2}}\)

Integrando dos dois lados da equação, cada um em sua respectiva variável, temos:

\(\int{x\over\sqrt{1-x^2}}\ dx= -\int{y\over\sqrt{1-y^2}}\ dy\)

Usando o resultado obtido no item 1A, temos:

\(I_A(x)=-I_A(y)\Rightarrow C_x-\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-y^2}-C_y\)

Fazendo \(C=C_x+C_y\), temos:

\(\boxed{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=C}\)

Com um pouco de álgebra conseguimos escrever \(y \) em função de \(x\):

\(\begin{align} \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}&=C\\ \sqrt{1-y^2}&=C-\sqrt{1-x^2}\\ 1-y^2&=\left(C-\sqrt{1-x^2}\right)^2 \end{align}\)

Finalmente:

\(\boxed{y=\pm\sqrt{1-\left(C-\sqrt{1-x^2}\right)^2}}\)