calcule a integral ⨛sen²(2x)cos³(2x)dx

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3 2 3 2
² 2 3 ² 2 3 ² 2 3
x x
dx dx dx
x x x x x x
−
= −
− + − + − +  
 
2 2
3
3
2 3 2 3
x x
dx dx
x x x x
=
− + − + 
 
Primeiro vamos fazer um acerto de denominador 
² 2 3 ² 2 1 2
² 2 3 ( 1)² 2
( 1) 1
x x x x
x x x
u x x u
− + = − + +
− + = − +
= − → = +
 
Agora vamos substituir 
2
3 1 1
3 3
² 22 3 ² 2
x u u
dx du du
x x u u+
+ +
= =
+− +  
 
Agora expandimos 
1 1
3 3
² 2 ² 2 ² 2 ² 2
u u
du du du
u u u u
    
+ = +    
+ + + +    
   
1
1 1
2 ln ² 2
² 2 2 ² 2 2
1
² 2 2 2
u u
du du u
u u
du u
tg
u
−
= = +
+ +
=
+
 
 
( )
2 2 2
² 2 3 1 ² 2 ² 2
dx dx du
x x x u
= =
− + − + +  
 
12 1 12 2
² 2 ² 2 2 2
u
du du tg
u u
−  = =  
+ +  
  
Assim temos que: 
1 13 2 1 1 13 ln ² 2 2
² 2 3 2 2 2 2 2
x u u
dx u tg tg
x x
− −−    = + + −   
− +    
 
Substituindo temos: 
1 1
1 1
1
1
3 2 1 1 1 1 1
3 ln ² 2 3 2
² 2 3 2 2 2 2 2
3 2 3 3 1 2 1
ln ² 2 3
² 2 3 2 2 2 2 2
3 2 3 1 1
ln ² 2 3
² 2 3 2 2 2
3 2 3 2 1 1
ln ² 2 3
² 2 3 2 2 2 2
3
x x x
dx x x tg tg
x x
x x x
dx x x tg tg
x x
x x
dx x x tg
x x
x x
dx x x tg
x x
x
− −
− −
−
−
− − −   
= − + + −   
− +    
− − −   
= − + + −   
− +    
− −
= − + +
− +
− −
= − + +
− +




12 3 2 1ln ² 2 3
² 2 3 2 2 2
x
dx x x tg C
x x
−− −=  − + + +
− +