Em uma divisão de números naturais, o dividendo vale 802 e o quociente 14, encontre os possíveis divisores e restos.

Isto está se tratando do galgoritmo de Euclides. Temos

802=14q+r

em que q é o quociente e r é o resto. Considere as prerrogativas abaixo:

I . O valor de r não pode ultrapassar o de q em módulo;

II. Os valores q e r serão positivos;

III. Os valores q e r serão inteiros.

Apartir delas podemso enquadrar tal questão como um assunto a ser tratado na Teoria dos Números.

Como

802=14q+r

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q=(802-r)/14

Como consideramos acima que q seja um inteiro, logo o valor resultante da substração entre parênteses deve ser divisível por 14. Donde pode ser divisível por 2 e por 7. Por ser divisível por 2 dedusimos que o valor de r é par. Basta com isso relacionar os seguintes fatos:

I. r é par;

II. 802-r é divisível por 14 dado q

III. r é menor que q.

Testemos para r=2

802-2=800. Porém 400 (800/2) não é divisível por 7 (donde 800 não é divisível por 14). NÃO VALE

Para r=4

802-4=798. Como 798=14x57 (r=4 e q=57) VALE

Como encontramos o primeiro valor de r para que 802-r seja divisível por 14, basta aumentarmos o valor de r=4 de 14 em 14 até o momento que r ainda é menor que q.

r=4+14=16

802-16=784. 784=14x56

Note que aumentar 14 no resto representa diminuir um no quociente. Pois

802=qx14+r

802=(q-1)x14+(r+14)

Logo teremos as seguintes combinações para o par ordenado (r,q)

(4,57);(16,56);(30,55);(44;54)

O próximo seria (58,53), porém isso contradiz o princípio que r deve ser menor que q.

Logo as combinações possíveis para que 802=14q+r são

(4,57);(16,56);(30,55);(44;54) em que a primeira coordenada é o valor do resto correspondente para o quociente que está na segunda coordenada.

Dica: Use o Geogebra e plote os pontos com coordenadas citadas. Observe que estão alinhados.

Acho que se enganou, a questão diz que o q=14 e quer saber os divisores e restos ^^
abraço marcos!!