Neste exercício, deve-se determinar o ponto \(P\) (pertencente à parábola) que maximiza a área do triângulo \(ABP\), sendo que os pontos \(A\) e \(B\) são os pontos de interseção das funções \(y_{parabola}=x^2\) e \(y_{reta}=2x+3\).

Os pontos \(A\) e \(B\) podem ser encontrados da seguinte forma:

\(\Longrightarrow y_{parabola}=y_{reta}\)

\(\Longrightarrow x^2 = 2x+3\)

\(\Longrightarrow x^2 - 2x-3=0\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} a=1 \\ b=-2 \\ c=-3 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {2 \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)} \over 2\cdot 1}\)

\(\Longrightarrow x = {2 \pm \sqrt{16} \over 2}\)      \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1=3 \\ x_2=-1 \end{matrix} \right.\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1=9 \\ y_2=1 \end{matrix} \right.\)

Pela Fórmula de Bhaskara, os pontos \(A\) e \(B\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A=(3,9) \\ B=(-1,1) \end{matrix} \right.\)

Sabe-se que a área de qualquer triângulo se dá pela seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow A_{\Delta}={b \cdot h \over 2}\)

Sendo que \(b\) é o comprimento da base do triângulo e \(h\) é a altura.

O valor de \(b\) é a distância entre os pontos \(A\) e \(B\). Portanto, \(b\) é constante. Com isso, para maximizar a área \(A_{\Delta}\), deve-se maximizar o valor de \(h\).

O valor de \(h\) máximo é a maior distância entre as funções \(y_{parabola}=x^2\) e \(y_{reta}=2x+3\) para uma região entre os pontos \(A\) e \(B\). É o equivalente a dizer que \(h\) é a distância entre \(y_{reta}\) e uma outra reta, que é tangente a \(y_{parabola}\) e ao mesmo tempo paralela a \(y_{reta}\).

Sendo \(y_{tan}\) essa nova reta, ela cruza \(y_{parabola}\) no ponto \(P\). Além disso, já que ela deve ser paralela a \(y_{reta}\), seu coeficiente angular (inclinação) deve ser igual à de \(y_{reta}\), ou seja, igual a 2.

\(\Longrightarrow y_{tan}=a_{tan}\cdot x+b_{tan}\)

\(\Longrightarrow a_{tan}=2\)    \((I)\)

Além disso, para encontrar a inclinação de \(y_{tan}\) em qualquer ponto de \(y_{parabola}=x^2\), um outro jeito possível é derivar a função da parábola, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow {dy_{parabola} \over dx}={d \over dx}x^2\)

\(\Longrightarrow {dy_{parabola} \over dx}=2x\)    \((II)\)

Igualando as equações \((I)\) e \((II)\), o valor da coordenada \(x_p\) pertencente ao ponto \(P\) é:

\(\Longrightarrow {dy_{parabola} \over dx}=a_{tan}\)

\(\Longrightarrow 2x_{p}=2\)

\(\Longrightarrow x_{p}=1\)

Substituindo \(x_p\) em \(y_{parabola}=x^2\), o valor de \(y_p\) pertencente ao ponto \(P\) é:

\(\Longrightarrow y_{p}=x_p^2\)

\(\Longrightarrow y_{p}=1\)

Sendo \(P=(x_p,y_p)=(1,1)\), suas coordenadas são coerentes, pois estão em uma região entre os pontos \( A=(3,9)\) e \( B=(-1,1) \). Portanto, a resposta final é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ P=(1,1) $}\)