lim┬(x→1)⁡〖(√(x^2+8 )-3)/(x-1)〗 ?

Olá!

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por √(x² + 8) + 3:

lim(x → 1) [√(x² + 8) - 3] . [√(x² + 8) + 3]

                   (x - 1)             [√(x² + 8) + 3]

Temos o produto notável (a - b)(a + b) = a² - b² no numerador:

lim(x → 1)          x² + 8 - 9      

                (x - 1)[√(x² + 8) + 3]

lim(x → 1)             x² - 1           

                (x - 1)[√(x² + 8) + 3]

lim(x → 1)       (x + 1)(x - 1)      

               (x - 1)[√(x² + 8) + 3]

lim(x → 1)       (x + 1)        

                 [√(x² + 8) + 3]

Substituindo o limite:

= 2 / (√9 + 3) = 2 / 6 = 1/3

Bons estudos :)

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {\sqrt {x^2+8} -3\over x-1}\)

Para tentar simplificar a expressão, o numerador e o denominador serão multiplicados por \(\sqrt {x^2+8} +3\). Com isso, o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {(\sqrt {x^2+8} -3)(\sqrt {x^2+8} +3)​​\over (x-1)(\sqrt {x^2+8} +3)}\)

Utilizando a regra da distributiva \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) no numerador, o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {(\sqrt {x^2+8})^2 -(3)^2​​\over( x-1)(\sqrt {x^2+8} +3)}\)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {x^2+8 -9​​\over( x-1)(\sqrt {x^2+8} +3)}\)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {x^2-1​​\over( x-1)(\sqrt {x^2+8} +3)}\)

Utilizando a regra da distributiva \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {(x-1)(x+1)​​\over( x-1)(\sqrt {x^2+8} +3)}\)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {x+1​​\over\sqrt {x^2+8} +3}\)

Finalmente, aplicando o valor limite \(x=1\), o valor resultante é:

\(\Longrightarrow {(1)+1​​\over \sqrt {(1)^2+8} +3}\)

\(\Longrightarrow {2​​\over\sqrt {9} +3}\)

\(\Longrightarrow {2​​\over3 +3}\)

\(\Longrightarrow \fbox{${1\over 3}$}\)