Qual a equac¸˜ao da hipérbole com focos F1 = (0,−4) e F2 = (0,4) e excentricidade e = 2? Quais as suas retas tangentes

Para encontrar a equação da hipérbole, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \\ & 2c=8 \\ & c=4 \\ & e=2 \\ & e=\frac{c}{a} \\ & a=2 \\ & {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & {{4}^{2}}={{2}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & 16-4={{b}^{2}} \\ & b=\sqrt{12} \\ & \frac{{{y}^{2}}}{{{2}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{12}=1 \\ \end{align}\ \)

Portanto, a equação da hipérbole será \(\boxed{\frac{{{y^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{{12}} = 1}\).

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