Oi, tudo bem?
Antes de qualquer coisa, precisamos ter em mente que estamos operando no conjunto dos números inteiros (Z). (Creio)
Sabendo que se o MDC(x, y) = z, onde x, y e z pertence a Z, então z|x e z|y. E se isso acontece então significa que x = z.q + r e y = z.q' + r, onde q, q' e r pertence a Z e r = 0 (Tem que ser)
Sabendo disso, vamos ao seu problema...
Você pode mostrar da seguinte forma: MDC(n, 2n+1) = d, onde n e d pertence a Z. (se n pertence a Z então 2n+1 também pertence a Z)
Então d|n e d|(2n+1), isto é, n = d.q e 2n+1 = d.q'
Substituindo a primeira equação na segunda temos: 2dq + 1 = dq' => dq' - 2dq = 1 => d.(q' - 2q) = 1
Se q e q' pertencem a Z então (q' - 2q) = q'' também pertente a Z
Então d.(q' - 2q) = 1 => d.q'' = 1 => d|1
Logo d = 1 pois o único divisor inteiro de 1 é o prório 1.
OBS.: Só lembrando que isso tudo ai é no Conjunto dos Números Inteiros (Z).
Espero ter ajudado!
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