Gabarito_Lista_5_EstruturaAlgebrica

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UNINTER - Centro Universitário Internacional
Escola Superior de Educação
Curso de Licenciatura em Matemática
Professor Marcos Teixeira Alves
Gabarito da Lista 3 de Exerćıcios - Estrutura Algébrica
Exerćıcio 1. Como podemos verificar que um subconjunto B do anel (A,+, ·) é subanel? O
conjunto dos números inteiros Z é subanel do anel dos números racionais Q? Justifique sua
resposta.
Solução: Seja (A,+, ·) um anel. Um subconjunto não vazio B ⊂ A é chamado subanel de A
quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a, b ∈ B, então a− b ∈ B;
(ii) se a, b ∈ B, então a · b ∈ B.
É claro que Z é um subanel do anel dos números racionais Q, pois dados dois números
inteiros x e y, sabemos que x− y ∈ Z e x · y ∈ Z. Logo, as propriedades (i) e (ii) são satisfeitas,
o que garante que Z é subanel de Q.
Exerćıcio 2. Coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. Justifique suas
escolhas.
a) ( V ) O conjunto dos números pares B = {2k; k ∈ Z} é subanel de Z.
b) ( F ) O conjunto dos números ı́mpares C = {2k + 1; k ∈ Z} é subanel de Z.
c) ( F ) O conjunto B = {x ∈ Q; x /∈ Z} é subanel de Q.
d) ( F ) O conjunto B =
{[
a b
c 0
]
∈M2(R)
}
é subanel de M2(R).
e) ( V ) O conjunto B =
{[
a b
0 0
]
∈M2(R)
}
é subanel de M2(R).
f) ( V ) O conjunto Z[
√
2] = {a + b
√
2; a, b ∈ Z} é subanel de R.
g) ( V ) O conjunto B = {f ∈ F(R,R); f(1) = 0} é subanel de F(R,R).
Solução:
a) Considere dois números pares x, y ∈ B. Logo, x = 2k1 e y = 2k2 com k1, k2 ∈ Z.
Observamos que x − y = 2(k1 − k2) é um número par e x · y = 2(2k1k2) também é um
número par. Isso mostra que x−y ∈ B, x·y ∈ B e as propriedades (i) e (ii) são satisfeitas.
Logo, B é subanel de Z.
b) Observamos que a diferença de dois ı́mpares resulta em número par. Por exemplo, con-
siderando os números ı́mpares 1 e 7, temos 7 − 1 = 6 que é um número par. Assim, a
propriedade (i) de subanel não é satisfeita, donde C não é subanel de Z.
1
c) Observe que a propriedade (i) de subanel não é satisfeita para todos os elementos de B.
Por exemplo, os números
1
3
e
4
3
pertencem ao subconjunto B, porém
4
3
− 1
3
= 1 /∈ B (pois
B é o conjunto dos números racionais que não são inteiros). Logo, B não é subanel de Q.
d) Consideremos duas matrizes X e Y pertencentes ao subconjunto B. Então, X =
[
a b
c 0
]
e Y =
[
m n
p 0
]
. Notamos que
X − Y =
[
a−m b− n
c− p 0
]
e X · Y =
[
am + bp an
cm cn
]
Percebemos que X−Y ∈ B, porém não podemos garantir que X ·Y ∈ B, já que podemos
ter cn 6= 0.
Portanto, B não é subanel de M2(R).
e) Consideremos duas matrizes X e Y pertencentes ao subconjunto B. Então, X =
[
a b
0 0
]
e Y =
[
m n
0 0
]
. Notamos que
X − Y =
[
a−m b− n
0 0
]
e X · Y =
[
am an
0 0
]
.
Segue dáı que X − Y,X · Y ∈ B. Assim, as propriedades (i) e (ii) são satisfeitas, o que
garante que B é subanel de M2(R).
f) Vamos verificar a propriedade (i): considere os elementos x, y ∈ Z[
√
2]. Logo, x = a+b
√
2
e y = c + d
√
2. Com isso,
x− y = (a + b
√
2)− (c + d
√
2) = (a− c) + (b− d)
√
2.
Logo, x− y ∈ Z[
√
2] e a propriedade (i) é satisfeita.
Passamos para a propriedade (ii): considere x = a + b
√
2 e y = c + d
√
2 elementos
quaisquer de Z[
√
2]. Notamos que
x · y = (a + b
√
2) · (c + d
√
2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)
√
2.
Logo, x · y ∈ Z[
√
2] e a propriedade (ii) é satisfeita.
Portanto, B é subanel de R.
g) Considere duas funções f, g ∈ B. Logo, f(1) = 0 e g(1) = 0. Observamos que
(f − g)(1) = f(1)− g(1) = 0− 0 = 0 e (f · g)(1) = f(1) · g(1) = 0 · 0 = 0.
Com isso, garantimos que f − g ∈ B e f · g ∈ B. Portanto, B é subanel de F(R,R).
Exerćıcio 3. Relembre aqui a definição de ideal de um anel comutativo. O conjunto dos
números inteiros Z é um ideal de Q? Justifique sua resposta.
Solução: Seja (A,+, ·) um anel comutativo. Um subconjunto não vazio I ⊂ A é chamado ideal
de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
2
(i) se a, b ∈ I, então a− b ∈ I;
(ii) se a ∈ I e x ∈ A, então a · x ∈ I.
O conjuntos dos números inteiros Z não é ideal de Q, pois considerando o número racional
1
2
e o número inteiro 1, temos 1 · 1
2
=
1
2
/∈ Z. Logo, a propriedade (ii) de ideal não é satisfeita.
Exerćıcio 4. Verifique se o subconjunto I é ideal do anel A dado.
a) I = Z e A = R.
b) I = Q e A = R.
c) I =
{[
u 0
v 0
]
∈M2(R)
}
e A = M2(R).
d) I = 2Z = {2x; x ∈ Z} e A = Z.
e) I = {f : R→ R; f(0) = 0} e A = F(R,R).
Solução:
a) Z não é ideal de R, conforme exemplo apresentado no Exerćıcio 3.
b) Q não é ideal de R, pois a propriedade (ii) de ideal não é satisfeita. Por exemplo,
considerando o número racional 2 e o número real
√
2, temos 2
√
2 /∈ Q.
c) I =
{[
u 0
v 0
]
∈M2(R)
}
não é ideal de A = M2(R), pois a propriedade (ii) de ideal não
é satisfeita. Dadas as matrizes A =
[
u 0
v 0
]
∈ I e X =
[
a b
c d
]
∈M2(R), temos
A ·X =
[
u 0
v 0
]
·
[
a b
c d
]
=
[
au bu
av bv
]
/∈ I para bv 6= 0.
Logo, I não é ideal de A = M2(R).
d) Dados a, b ∈ 2Z, temos a = 2x e b = 2y com x, y ∈ Z. Assim, a − b = 2(x − y) ∈ 2Z.
Além disso, se k ∈ Z e a ∈ 2Z, vale ak = ka = 2(xk) ∈ 2Z, onde a = 2x para algum
x ∈ Z. Portanto, 2Z é um ideal de Z.
e) Sejam f, g ∈ I. Então, f(0) = 0 e g(0) = 0. Dáı
(f − g)(0) = f(0)− g(0) = 0− 0 = 0,
o que mostra que f − g ∈ I. Além disso, dadas f ∈ F(R,R) e g ∈ I, segue que
(f · g)(0) = f(0) · g(0) = f(0) · 0 = 0, donde f · g ∈ I.
Portanto, I = {f : R→ R; f(0) = 0} é ideal do anel F(R,R).
Exerćıcio 5. Sabemos que se I é ideal do anel comutativo A, então I é subanel de A. Mostre
que a rećıproca é falsa, isto é, apresente um exemplo de um subanel B do anel A tal que B não
é ideal de A.
3
Solução: Um exemplo posśıvel é o seguinte: Z é subanel de Q, porém, como vimos no Exerćıcio
3, Z não é ideal de Q.
Exerćıcio 6. Relembre aqui a definição de homomorfismo. Seja (A,+, ·) um anel qualquer.
A função identidade f : A → A definida por f(a) = a é um homomorfismo? Justifique sua
resposta.
Solução: Considere os anéis (A,+, ·) e (B, ∗,4). Dizemos que a função f : A → B é um
homomorfismo quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) f(a + b) = f(a) ∗ f(b),
(ii) f(a · b) = f(a)4f(b),
para todos a, b ∈ A. Vamos mostrar que a função f : A → A definida por f(a) = a é um
homomorfismo.
(i) Pela definição da função f , temos f(a + b) = a + b. Por outro lado, f(a) + f(b) = a + b.
Logo, f(a + b) = f(a) + f(b) e a propriedade (i) é satisfeita.
(ii) Notamos que f(a · b) = a · b. Além disso, f(a) · f(b) = a · b. Assim, f(a · b) = f(a) · f(b)
e a propriedade (ii) é satisfeita.
Portanto, f satisfaz (i) e (ii), o que garante que f é um homomorfismo.
Exerćıcio 7. Coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. Justifique suas
escolhas.
a) ( F ) A função f : Z→ Z, f(x) = −x é homomorfismo.
b) ( F ) A função f : Z→ Z definida por f(x) = x + 2 é um homomorfismo.
c) ( V ) A função f : Z→M2(Z) definida por f(a) =
[
a 0
0 a
]
é um homomorfismo.
d) ( V ) A função f : Z→ Z, f(x) = 0 é um homomorfismo.
e) ( V ) A função f : Z[
√
2]→ Z[
√
2], f(a + b
√
2) = a− b
√
2 é um homomorfismo.
Solução:
a) Dados x, y ∈ Z, observamos que f(x + y) = −(x + y) = −x − y. Por outro lado,
f(x) + f(y) = −x + (−y) = −x− y. Logo, f(x + y) = f(x) + f(y) e a propriedade (i) é
satisfeita.
Verificamos a propriedade (ii): f(xy) = −xy, enquanto que f(x)·f(y) = (−x)·(−y) = xy.
Essa constatação indica que a propriedade (ii) não é satisfeita. Por exemplo, considerando
x = 1 e y = 2, temos f(1 · 2) = f(2) = −2 e f(1) · f(2) = (−1) · (−2) = 2. Assim,
f(1 · 2) 6= f(1) · f(2). Logo, a propriedade (ii) não é satisfeita e f não é homomorfismo.
b) Dados x, y ∈ Z, segue que f(x + y) = (x + y) + 2 = x + y + 2. Por outro lado, também
pela definição da função f , temos f(x) + f(y) = (x + 2) + (y + 2) = x + y + 4. Logo, a
propriedade (i) não é satisfeita e f não é homomorfismo.
4c) Dados a, b ∈ Z, temos
f(a + b) =
[
a + b 0
0 a + b
]
=
[
a 0
0 a
] [
b 0
0 b
]
= f(a) + f(b),
o que mostra que a propriedade (i) é satisfeita.
Além disso,
f(ab) =
[
ab 0
0 ab
]
=
[
a 0
0 a
] [
b 0
0 b
]
= f(a) · f(b)
e a propriedade (ii) é satisfeita.
Portanto, f é homomorfismo.
d) Sejam x, y ∈ Z. Pela definição da função f , temos f(x + y) = 0, f(x) = 0 e f(y) = 0.
Com isso, f(x + y) = f(x) + f(y) e a propriedade (i) é satisfeita.
Também vemos que f(xy) = 0. Logo, f(xy) = f(x) · f(y) e a propriedade (ii) é satisfeita.
Portanto, f é homomorfismo.
e) Sejam a + b
√
2, c + d
√
2 ∈ Z[
√
2]. Pela definição da função f , obtemos
f((a + b
√
2) + (c + d
√
2)) = f((a + c) + (b + d)
√
2) = (a + c)− (b + d)
√
2.
Também, f(a+ b
√
2) + f(c+d
√
2) = (a− b
√
2) + (c−d
√
2) = (a+ c)− (b+d)
√
2. Assim,
f((a + b
√
2) + (c + d
√
2)) = f(a + b
√
2) + f(c + d
√
2) e a propriedade (i) é satisfeita.
Verificaremos a propriedade (ii): primeiro, notamos que
(a + b
√
2) · (c + d
√
2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)
√
2.
Com isso, f((a+b
√
2)·(c+d
√
2)) = f((ac+2bd)+(ad+bc)
√
2) = (ac+2bd)−(ad+bc)
√
2.
Agora, f(a+ b
√
2) · f(c+ d
√
2) = (a− b
√
2) · (c− d
√
2) = (ac− 2bd)− (ad+ bc)
√
2. Logo,
f((a + b
√
2) · (c + d
√
2)) = f(a + b
√
2) · f(c + d
√
2) e a propriedade (ii) é satisfeita.
Portanto, f é um homomorfismo.
Exerćıcio 8. Considere o anel (R × R,+, ·), onde as operações de adição + e multiplicação ·
são definidas por
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + b) e (a, b) · (c, d) = (ac, bd).
Considere também a função f : R× R→M2(R) definida por f(a, b) =
[
a 0
0 b
]
.
a) Mostre que f é um homomorfismo.
b) Determine o núcleo N(f) e o conjunto imagem Im(f) de f .
Solução:
5
a) Sejam (a, b), (c, d) ∈ R× R. Então,
f((a, b)+(c, d)) = f(a+c, b+d) =
[
a + c 0
0 b + d
]
=
[
a 0
0 b
]
+
[
c 0
0 d
]
= f(a, b)+f(c, d).
Além disso, temos
f((a, b) · (c, d)) = f(ac, bd) =
[
ac 0
0 bd
]
=
[
a 0
0 b
]
·
[
c 0
0 d
]
= f(a, b) · f(c, d).
Segue das duas observações anteriores que f é um homomorfismo.
b) Observamos que
(a, b) ∈ N(f)⇐⇒ f(a, b) =
[
0 0
0 0
]
⇐⇒
[
a 0
0 b
]
=
[
0 0
0 0
]
,
donde a = b = 0. Logo, N(f) = {(0, 0)}. Além disso, o conjunto imagem de f é dado por
Im(f) = {f(a, b) ∈M2(R); (a, b) ∈ R× R} =
{[
a 0
0 b
]
∈M2(R)
}
,
isto é, o conjunto Im(f) é formado por todas as matrizes diagonais do anel das matrizes
M2(R).
Exerćıcio 9. Considere o homomorfismo f : Z → R definido por f(x) = x. Determine o
núcleo e o conjunto imagem de f .
Solução: O núcleo de f é definido por N(f) = {x ∈ Z; f(x) = 0}. Usando a função f ,
encontramos
f(x) = 0⇐⇒ x = 0.
Logo, N(f) = {0}. O conjunto imagem de f é
Im(f) = {f(x); x ∈ Z} = {x; x ∈ Z} = Z.
Exerćıcio 10. Considere o anel R[x] dos polinômios com coeficientes reais na variável x. Com
base neste anel, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. Justifique
suas escolhas:
a) ( V ) O polinômio nulo p(x) = 0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].
b) ( V ) O elemento simétrico do polinômio p(x) ∈ R[x] é o polinômio −p(x).
c) ( F ) Efetuando a multiplicação do polinômio p(x) = 1+x pelo polinômio q(x) = 2+x+x2,
obtemos o polinômio p(x) · q(x) = 2 + 3x + x2 + x3.
d) ( F ) O polinômio f(x) = 2x3 − 7x2 + 4x− 1 é unitário.
e) ( V ) O quociente da divisão do polinômio f(x) = 2x3 − 7x2 + 4x − 1 pelo polinômio
g(x) = x− 4 é q(x) = 2x2 + x + 8.
f) ( V ) O resto da divisão do polinômio p(x) = x4 − 3x3 + 6x2 por q(x) = x2 − 3x + 5 é
r(x) = 3x− 5.
6
g) ( V ) O valor de k para que o polinômio f(x) = x4 + kx2 + 2x − 8 seja diviśıvel por
g(x) = x + 2 é k = −1.
Solução:
a) O polinômio p(x) = 0 é o elemento neutro da adição de polinômios, pois
p(x) + q(x) = 0 + q(x) = q(x)
para todo polinômio q(x) ∈ R[x].
b) O elemento simétrico de p(x) é o polinômio −p(x) ∈ R[x], já que p(x) + [−p(x)] = 0.
c) Efetuando a multiplicação do polinômio p(x) = 1 + x pelo polinômio q(x) = 2 + x + x2,
obtemos o polinômio p(x) · q(x) = 2 + 3x + x2 + x3.
d) O coeficiente do termo dominante é 2. Isso mostra que f(x) não é unitário.
e) Notamos que f(x) = g(x) · (2x2 + x + 8) + 31, o que mostra que o polinômio quociente é
q(x) = 2x2 + x + 8.
f) Observamos que p(x) = (x2 + 1) · q(x) + (3x − 5). Logo, o resto da divisão de p(x) por
q(x) é r(x) = 3x− 5.
g) Como f(x) é diviśıvel por g(x), temos que a raiz de g(x) (que é -2) é também raiz de
f(x). Logo,
f(−2) = 0 =⇒ 4 + 4k = 0 =⇒ k = −1.
7