Para resolver este problema, devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Cálculo Diferencial e Integral e Mecânica.

Em especial, faremos uso da seguinte equação:

\(\overline{X}=\dfrac{\int_A xdA}{\int_A dA} \hspace{2cm}\overline{Y}=\dfrac{\int_A ydA}{\int_A dA},\)

em que \(\overline{X}\)  e \(\overline{Y}\) são as coordenadas do centroide nos eixos \(x\) e \(y\), respectivamente.

Para o problema em questão, tem-se que:

\(\begin{align} \overline{X}&=\dfrac{\int_0^1 x\cdot x^3dx}{\int_0^1 x^3 dx} \\&=\dfrac{\left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^1}{\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1} \\&=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{4}} \\&=\dfrac{4}{5} \\&=0,80 \text{ m} \end{align}\)

Dado que \(x=y^{\frac{1}{3}}\), analogamente calcula-se a posição do centróide na direção \(y\):

\(\begin{align} \overline{Y}&=\dfrac{\int_0^1 y\cdot y^{\frac{1}{3}} dy}{\int_0^1 y^{\frac{1}{3}}dy} \\&=\dfrac{\left[\dfrac{y^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}}\right]_0^1}{\left[\dfrac{y^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}\right]_0^1} \\&=\dfrac{\dfrac{3}{7}}{\dfrac{3}{4}} \\&=\dfrac{4}{7} \\&=0,57 \text{ m} \end{align}\)

Portanto, o centróide da figura é \(\boxed{(\overline{X},\text{ } \overline{Y})=(0,80\text{ m}, \text{ } 0,57 \text{ m})}\).