P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P.

Para que o triângulo formado pelos pontos PQR seja retângulo em P, temos que os vetores PR e PQ são perpendiculares. Para isso ocorrer o produto escalar destes dois vetores tem que ser zero. Portanto temos:

PR = (-1-0;3-1;1-k) = (-1;2;1-k)

PQ = (2-0;2k-1;k-1-k) = (2;2k-1;-1)

PQ . PR = 0

-1x2 +2x(2k-1) -1x(1-k) =0

-2 +4k -2 +k -1 =0

5k -5 =0

k=5/5 = 1

Para encontrar o valor de K , realizaremos os cálculos abaixo:

\(PR = (-1-0;3-1;1-k) \\ PR= (-1;2;1-k) \\ PQ = (2-0;2k-1;k-1-k) \\ PQ= (2;2k-1;-1) \\ PQ . PR = 0 \\ \\ -1x² +2x(2k-1) -1x(1-k) =0 \\ -2 +4k -2 +k -1 =0 \\ 5k -5 =0 \\ k=5/5 \\ k= 1\)

Portanto, temos que \(\boxed{{\text{k = 1}}}\).