Dada a equação diofantina 2x + 3y = 9, o par ordenado que representa a solução particular é:

Nesse exercício vamos aplicar nossos conhecimentos de resolução de equação linear, de sistema cartesiano e de matemática discreta.

Para começar, vamos lembrar a definição de equação diofantina. Tais equações são equações polinomiais de mais de uma variável, em que os valores podem ser apenas inteiros:

\(ax+by=c\)

As equações diofantinas lineares tem solução se, e somente se, \(c\) for múltiplo do máximo divisor comum entre \(a\) e \(b\). Existindo solução, elas são infinitas. Para o máximo divisor comum, temos:

\(mdc(2,3)=1\)

Como \(9\) é múltiplo de \(1\), temos solução. Pelo algoritmo estendido de Euclides, obtemos que uma possível solução para 

\(2x+3y=mdc(3,2)=1\)

é \((x,y)=(-1,1)\), isto é:

\(2\cdot(-1)+3\cdot1=1\)

Multiplicando a expressão por 9, temos:

\(2\cdot(-9)+3\cdot9=9\)

Logo, uma solução particular é dada por:

\(\boxed{(x,y)=(-9,9)}\)

Como mdc(2,3)=1 e 1|9, segue que a equação admite solução. Sabemos que existem m,n inteiros tal que 2m+3n = 1 e precisamos calculá-los para encontrar uma solução particular. Uma alternativa é usar o algoritmo de Euclides, mas note que 2(-1)+3(1) = 1 (ou seja, n = -1 e m=1). Multiplicando por 9, temos :

9[2(-1)+3(1)] = 9x1 ==> 2(-9)+3(9) = 9 e segue que uma solução particular é x= -9 e y=9. Espero ter sido claro :D