Resolva a equação: |5x+2|+|x-4|=12

i) Para (5x+2) e (x-4) MAIORES do que zero, teremos:

5x+2 > 0 
5x > -2 
x > - 2/5
e 
x - 4 > 0 
x > 4

Agora note: entre x > - 2/5; e x > 4 vai prevalecer x > 4, pois sendo x > 4 já é maior do que "-2/5". Então, quando (5x+2) e (x-4) forem maiores do que zero vai prevalecer x > 4. 
Dessa forma, a nossa expressão ficará sendo:

5x + 2 + x - 4 = 12 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos: 
6x - 2 = 12 
6x = 12 + 2 
6x = 14
x = 14/6 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos: 
x = 7/3 <---- Veja que 7/3 é menor do que "4". Logo, descartaremos esta resposta, pois ela não atende à condição de existência para (5x+2) e (x-4) maiores do que zero, que teríamos que encontrar x > 4. Por isso é que esta resposta é descartada. 

ii) Para (5x+2) e (x-4) MENORES do que zero, iremos ter: 

5x + 2 < 0 
5x < - 2 
x < - 2/5
e 
x - 4 < 0 
x < 4

Agora veja: entre "x" ser menor do que "4" e menor do que "-2/5", vai prevalecer "x" menor do que "-2/5", pois sendo "x" menor do que "-2/5", já será menor do que 4. 

Agora vamos para a nossa expressão, que é: 

-(5x+2) + [-(x-4)] = 12 
- 5x - 2 - x + 4 = 12
- 6x + 2 = 12
- 6x = 12 - 2 
- 6x =  10 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos: 
6x = - 10 
x = - 10/6 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
x = - 5/3 <---- Solução válida, pois "-5/3" é menor do que "-2/5" e, assim, atende à condição de existência para (5x+2) e (x-4) MENORES do que zero. 

iii) Para (5x+2) MAIOR do que zero e (x-4) MENOR do que zero, teremos: 

5x + 2 > 0 
5x > - 2 
x > -2/5
e 
x - 4 < 0 
x < 4. 

Assim, deveremos ter, quando formos ver a expressão inteira, que o valor deverá ficar entre: "-2/5" e "4", ou seja, deveremos ver se estará dentro do seguinte intervalo -2/5 < x < 4. 

Vamos para a expressão: 
5x + 2 + [-(x-4)] = 12 
5x + 2 - (x-4) = 12 
5x + 2 - x + 4 = 12 
4x + 6 = 12 
4x = 12-6 
4x = 6 
x = 6/4 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos: 
x = 3/2 <---- Resposta válida, pois está dentro do intervalo da condição de existência para (5x+2) maior do que zero e (x-4) menor do que zero. 

iv) Agora note que deveremos ficar por aqui mesmo, pois se formos colocar (5x+2) menor do que zero e (x-4) maior do que zero, iríamos ter condições de existência que não teria intervalo (como o intervalo que vimos na condição anterior, item "iii"). Nem também iríamos encontrar condições de existência tal a que encontramos no item "ii". 

Assim, a resposta correta para a sua expressão modular será esta: 

x = - 5/3 ou x = 3/2   <--- Esta deverá ser a resposta. Ou seja, os possíveis valores de "x" deverão ser estes (x = - 5/3, ou x = 3/2). Qualquer outra resposta que não seja esta estará fora das condições de existência de equações modulares. 

É isso aí.