Como calcular Equação homogenea de primeira ordem

Faz-se a mudança de variável y = t u {\displaystyle y=tu} em que u {\displaystyle u} é uma função desconhecida de t {\displaystyle t} . Logo, d y = d t u + t d u {\displaystyle dy=dtu+tdu} ^[3] .

Daí, d y d t = u + t d u d t {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=u+t{\frac {du}{dt}}} . Além disso, P ( t , y ) = P ( t , t u ) = t m P ( 1 , u ) {\displaystyle P(t,y)=P(t,tu)=t^{m}P(1,u)} e Q ( t , y ) = Q ( t , t u ) = t m Q ( 1 , u ) {\displaystyle Q(t,y)=Q(t,tu)=t^{m}Q(1,u)} .

Substituindo na equação homogênea de primeira ordem obtemos

t m P ( 1 , u ) d t + t m Q ( 1 , u ) ( u d t + t d u ) = 0 {\displaystyle t^{m}P(1,u)dt+t^{m}Q(1,u)(udt+tdu)=0}

( P ( 1 , u ) + u Q ( 1 , u ) ) d t + t Q ( 1 , u ) d u = 0 {\displaystyle (P(1,u)+uQ(1,u))dt+tQ(1,u)du=0}

ou

d u d t = − P ( 1 , u ) + u Q ( 1 , u ) Q ( 1 , u ) 1 t {\displaystyle {\frac {du}{dt}}=-{\frac {P(1,u)+uQ(1,u)}{Q(1,u)}}{\frac {1}{t}}} .

Que é uma equação separável. A qual pode ser resolvida usando o metodo de separação de variaveis