Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial linear não homogênea y-7y+10y=8e^x - EDO de 2° ordem caso exponencial neperiano - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial linear não homogênea 
.y′′- 7y′+ 10y = 8ex
 
Resolução:
 
A solução geral de uma EDO de 2° ordem é soma da solução homogênea com a particular;
 
y = y + yG H P
 
A solução particular é dada por; → devemos derivar 2 vezes;y = AeP x
 
y = Ae y' = Ae y'' = AeP
x
→ P
x
→ P
x
 
Substituimos, então, na EDO não homogênea com y'' = y'' , y' = y' e y = y P P P
 
Ae - 7Ae + 10Ae = 8e 4Ae = 8e 4A = 8 A = A = 2x x x x → x x → →
8
4
→
 
Com isso, a solução particular fica;
 
y = 2eP
x
 
Agora, vamos encontrar a solução homogênea y , a solução generica da parte homogênea é :H
 
y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x
 
A parte homogênea dessa EDO tem equação caracteristica 𝜆 - 7𝜆+ 10 = 0 equação do 2ª grau2 ( )
com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e 10 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2
2° grau, resolvendo :
 
𝜆' = = 5
- -7 +
2 ⋅ 1
( ) -7 - 4 ⋅ 1 ⋅ 10( )2 ( )
 
𝜆' = = 2
- -7 -
2 ⋅ 1
( ) -7 - 4 ⋅ 1 ⋅ -7( )2 ( )
 
 
 
Substituindo 𝜆´ e 𝜆";
 
y = C ⋅ e + C ⋅ eHomogênea 1
5
2
2x
 
Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução
geral dessa EDO não homogênea;
 
y = C ⋅ e +C ⋅ e + 2eG 1
5x
2
2x x
 
 
(Resposta )